2036 पेपर
यह शोध पत्र चुंबकीय हैमिल्टोनियन प्रवाह के माध्यम से फेज स्पेस में समाधानों को सन्निकट करके, पर उपरेखीय (sublinear) चुंबकीय और उपद्विघातीय (subquadratic) विद्युत विभव वाले चुंबकीय श्रोडिंगर समीकरणों के कॉची समस्या (Cauchy problem) की वैश्विक सुव्यवस्थितता (global well-posedness) को स्थापित करता है, जिससे चुंबकीय मॉड्यूलेशन स्पेस के भीतर असीमित विभवों को नियंत्रित किया जा सके।
यह शोध पत्र ब्रक्के के लंबवतता प्रमेय (perpendicularity theorem) को अनिसोट्रोपिक (anisotropic) परिवेश में विस्तारित करता है और सीमित अनिसोट्रोपिक माध्य वक्रता वाले कोडिमेंशन-वन (codimension-one) वैरिफोल्ड्स (varifolds) के लिए पूर्व में सिद्ध द्विघाती सपाटता (quadratic flatness) और -रेक्टिफिएबिलिटी (rectifiability) परिणामों के मूलभूत परिणामों के रूप में अनिसोट्रोपिक माध्य वक्रता वेक्टर की स्थानीयता (locality) को स्थापित करता है।
यह शोध पत्र वॉर्ड उत्पाद संरचनाओं (warped product structures) वाले कार्टन-हाडामार्ड मैनिफोल्ड्स पर केंद्रित समपरिमित असमानताओं (isoperimetric inequalities) की जांच करता है, जिसमें आवश्यक और पर्याप्त ज्यामितिक स्थितियाँ स्थापित की गई हैं, एक नए समपरिमित भागफल (isoperimetric quotient) के माध्यम से उन्नत चीगर असमानताओं (Cheeger inequalities) को व्युत्पन्न किया गया है, और ज्यावक्रीय गोलों (geodesic balls) के प्रथम गैर-शून्य डिरिचलेट आइजनवैल्यू (Dirichlet eigenvalue) के लिए मात्रात्मक निचली सीमाएँ प्रदान की गई हैं।
यह शोधपत्र नियतात्मक बाधाओं (अन्तः-भेदन न होना और असंपीड्यता) के अंतर्गत सहयोगात्मक फ्रैक्चर वाले लोचदार झिल्लियों के लिए रूपांतरण-आधारित न्यूनतम मॉडल (variational reduced models) व्युत्पन्न करता है, जो सुचारू विभेदक मानचित्रों (smooth diffeomorphisms) और फलनों के लिए एक नए सन्निकटन परिणाम के माध्यम से इन बाधाओं को एक साथ संतुष्ट करने और सतह ऊर्जा को अनुकूलित करने वाली रिकवरी अनुक्रमों का निर्माण करके किया गया है।
यह शोधपत्र एक क्रुझकोव-प्रकार की एंट्रॉपी स्थिति और अनुकूलित रीमैन इनवेरिएंट निर्देशांकों को वेव-फ्रंट ट्रैकिंग ढांचे के भीतर पेश करके, बिना किसी एकतोनता (मोनोटोनिसिटी) धारणा की आवश्यकता के, स्थानिक रूप से विच्छिन्न फ्लक्स वाले एक-आयामी 2x2 संरक्षण नियमों के तंत्रों के लिए एंट्रॉपी समाधानों के वैश्विक अस्तित्व को स्थापित करता है, जिसमें विषम सड़कों पर द्वितीय-क्रम के वाहन यातायात मॉडलों के अनुप्रयोग शामिल हैं।
यह शोध पत्र पांच युग्मित प्रतिक्रिया-विसरण (reaction-diffusion) समीकरणों का उपयोग करते हुए बैक्टीरियल कैंसर थेरेपी का एक गणितीय रूप से कठोर मॉडल प्रस्तुत करता है, इसकी वैश्विक सुव्यवस्थितता (global well-posedness) को सिद्ध करता है, और ट्यूमर-बैक्टीरिया अंतःक्रियाओं को संख्यात्मक रूप से सिम्युलेट करने के लिए फिजिक्स-इन्फॉर्म्ड न्यूरल नेटवर्क का उपयोग करता है, जिससे यह प्रकट होता है कि दीर्घकालिक चिकित्सीय प्रभावकारिता के लिए हाइपोक्सिक क्षेत्रों को बनाए रखना या ऑक्सीजन-सहिष्णु बैक्टीरिया का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।
यह शोध पत्र 3D-1D विलेय परिवहन (solute transport) समस्याओं को हल करने के लिए एक परिमित तत्व (finite element) और इंटीरियर पेनल्टी डिस्कंटीन्यूअस गैलेरकिन (interior penalty discontinuous Galerkin) युग्मित विधि प्रस्तुत करता है, जो सांद्रता (concentrations) दोनों के लिए इष्टतम त्रुटि सीमाएं (optimal error bounds) व्युत्पन्न करता है और संख्यात्मक प्रयोगों के माध्यम से इन सैद्धांतिक परिणामों को सत्यापित करता है।
यह शोधपत्र यह स्थापित करता है कि छद्म कैलाब-ई प्रवाह (pseudo Calabi flow) धनात्मक समय के लिए तत्काल सुचारू हो जाता है यदि प्रारंभिक आयतन रूप (volume form) एक सुचारू रूप के में पर्याप्त रूप से निकट हो, जिससे इस प्रकार सामान्य मैनिफोल्ड्स और फ़ानो (Fano) मैनिफोल्ड्स दोनों के लिए ऐसी स्थितियों के तहत प्रवाह के दीर्घकालिक अस्तित्व को सिद्ध किया जा सके।
यह शोध पत्र एक सरल घातांकीय विरूपण तर्क (exponential deformation argument) का उपयोग करके, जो हाइपोएलिप्टिसिटीिटी (hypoellipticity) पर निर्भर नहीं करता है, डिजेनरेट (degenerate), गैर-स्वायत्त (non-autonomous) और गैर-रैखिक (non-linear) पैराबोलिक समीकरणों के एक विस्तृत वर्ग के प्रोपेगेटर्स (propagators) के लिए -अर्थ में एकीकृत डेविस-गैफनी प्रकार के विसरणात्मक ऊपरी सीमा (Davies-Gaffney type diffusive upper bounds) स्थापित करता है।
यह शोध पत्र एक उन्नत परीक्षण फलन (test function) का उपयोग करके बेहतर निम्नतम सीमाओं (lower bounds) को प्राप्त करने के माध्यम से, क्रिटिकल पावर नॉनलिनियरी वाले सेमीलीनियर यूलर-पोइसन-डार्बू समीकरण की सिंगुलर कॉची समस्या के समाधानों के परिमित-समय विस्फोट (finite-time blow-up) को स्थापित करता है और उनके जीवनकाल के लिए एक ऊपरी सीमा प्रदान करता है, जिससे डी'एब्बिको द्वारा प्रस्तुत एक खुली समस्या का आंशिक रूप से समाधान होता है।