1966 पेपर
यह शोध पत्र विभेदक रूपों (differential forms) के लिए सोबोलेव स्थान उपकरणों (Sobolev space tools) को विकसित करके, एक बाउंड्री ट्रिपलेट की पहचान करने और एक संगत वर्ग की सुव्यवस्थित सीमा स्थितियों (well-posed boundary conditions) को व्युत्पन्न करके, एक कॉम्पैक्ट ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड पर हॉज वेव समीकरण की सुव्यवस्थितता (well-posedness) स्थापित करता है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि एक द्वि-आयामी शंकु (cone) में एक प्रभावी ऊर्जा-एन्स्ट्रॉफी प्रक्रिया का स्थिर विसरण (stationary diffusion), ब्राउनियन फोर्सिंग और रैंडम स्टिरिंग वाले एक -आयामी गैलरकिन-नेवियर-स्टोक्स सिस्टम का इनविसिड लिमिट (inviscid limit) के रूप में कार्य करता है, जिससे इनविसिड लिमिट में निम्नतम मोड को छोड़कर शेष सभी मोड के क्षरण (attrition) पर मात्रात्मक सीमाएं स्थापित होती हैं।
यह शोध पत्र ऊर्जा और एनस्ट्रोफी (enstrophy) का प्रतिनिधित्व करने वाले गाऊसी गुणांकों के साथ पर एक दीर्घवृत्तीय विसरण प्रक्रिया (elliptic diffusion process) का निर्माण करता है, एक अद्वितीय स्थिर वितरण के अस्तित्व को सिद्ध करता है और अपेक्षित ऊर्जा से अपेक्षित एनस्ट्रोफी के अनुपात को नियंत्रित करने के लिए एक संघनन सीमा (condensation bound) व्युत्पन्न करता है, जबकि एक संगत अध्ययन में एक स्टोकेस्टिक गैलरकिन-नेवियर-स्टोक्स प्रणाली की अघर्षण सीमा (inviscid limit) के रूप में इस मॉडल को स्थापित करता है।
यह सर्वेक्षण सांचेज़-पैलेंसिया द्वारा मूल रूप से अध्ययन की गई एलिप्टिक बाउंड्री वैल्यू समस्याओं के लिए शास्त्रीय सुदृढीकरण समस्या (क्लासिकल रीइन्फोर्समेंट प्रॉब्लम) का परीक्षण करता है, जो ब्रेज़िस, कैफ़रेली, फ्रीडमैन, एर्सेबी और बुटाज़ो के प्रमुख योगदानों पर ध्यान केंद्रित करता है, और संबंधित अनुकूलन समस्याओं (ऑप्टिमाइज़ेशन प्रॉब्लम्स) पर चर्चा करता है।
यह शोध पत्र अनंत-आयामी हिल्बर्ट स्थानों में ऑर्नस्टीन-उहलेनबेक विकास ऑपरेटरों के नियमितीकरण गुणों और स्पर्शोन्मुख व्यवहार की जांच करता है, विशेष रूप से आवधिक मामले के लिए इष्टतम अभिसरण दरों और एक ड्रिफ्ट-निर्भर इष्टतमता मानदंड की पहचान करता है।
यह शोध पत्र दो-आयामी जटिल यूक्लिडियन स्थान (complex Euclidean space) के भीतर एक उत्तल समुच्चय (convex set) में जटिल मोंगे-एम्पियर समीकरण के समाधानों की पावर उत्तलता (power convexity) को स्थापित करता है, जो एक ऐसे दृष्टिकोण का उपयोग करता है जो सभी आयामों के लिए लागू करने योग्य है, भले ही परिणाम दो-आयामी मामले के लिए विशिष्ट हो।
यह शोध पत्र रॉबिन सीमा स्थितियों (Robin boundary conditions) के साथ लैपलेसियन (Laplacian) की एक द्वि-चरणीय आइगेनवैल्यू समस्या (two-phase eigenvalue problem) की समरूपता-भंग (symmetry-breaking) और स्थानीय स्थिरता की जांच करता है, जो विशेष रूप से उन स्थितियों को अभिलक्षणित करता है जिनके तहत एक गोला, आंतरिक गोले के मुख्य न्यूमैन आइगेनवैल्यू (principal Neumann eigenvalue) के संदर्भ में, आयतन प्रतिबंध के तहत प्रथम आइगेनवैल्यू के लिए एक स्थानीय लघुतम (local minimizer) के रूप में कार्य करता है।
यह शोधपत्र गैर-विनिमय (non-exchangeable) परस्पर क्रिया करने वाले विसरणों (interacting diffusions) के लिए एक सार्वभौमिक केंद्रीय सीमा प्रमेय स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि इंटरेक्शन मैट्रिसेस पर उपयुक्त संरचनात्मक और सघनता संबंधी स्थितियों के तहत, वैश्विक उतार-चढ़ाव क्षेत्र (global fluctuation field) उसी गाऊसी SPDE सीमा की ओर अभिसरित होता है जैसा कि विनिमेय माध्य-क्षेत्र (exchangeable mean-field) मामले में होता है, जिसमें सघनता थ्रेशोल्ड को सटीक सिद्ध किया गया है।
यह शोध पत्र यंग/रफ इंटीग्रेशन थ्योरी (Young/rough integration theory) और रैंडम टेंसर अनुमानों के साथ - स्पेस के अनुकूलित फूरियर रिस्ट्रिक्शन नॉर्म मेथड (Fourier restriction norm method) को संयोजित करने वाले एक एकीकृत ढांचे को विकसित करके, मल्टीप्लिकेटिव नॉइज़ (multiplicative noise) वाले स्टोकेस्टिक नॉनलीनियर वेव इक्वेशन की ऑप्टिमल रेगुलैरिटी रेंज में पाथवाइज लोकल वेल-पोज़्डनेस (pathwise local well-posedness) स्थापित करता है।
यह शोध पत्र में फूरियर-लेबेग स्पेस (Fourier-Lebesgue spaces) के अनुकूल रूपांतरित फूरियर रिस्ट्रिक्शन नॉर्म (Fourier restriction norm) विधियों का उपयोग करते हुए और पिछले होमोजेनियस सोबोलेव रेगुलैरिटी (homogeneous Sobolev regularity) संबंधी अनुमानों को हटाते हुए, वास्तविक रेखा पर एडिटिव नॉइज़ (additive noise) के साथ स्टोकेस्टिक कोर्टeweg-डी व्री (Korteweg-de Vries) समीकरण की ग्लोबल वेल-पोज़्डनेस (global well-posedness) और इष्टतम पाथवाइज अनकंडीशनल यूनिकनेस (optimal pathwise unconditional uniqueness) को स्थापित करता है।