2037 पेपर
यह शोध पत्र एक अल्पकालिक स्मूथिंग धारणा को प्रस्तुत करके टॉरस पर दो-आयामी नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के बॉर्डरलाइन लोरेन्त्ज़ स्पेस (के लिए ) में माइल्ड समाधानों की विशिष्टता स्थापित करता है, जो आवधिक ओसीन कर्नेल से व्युत्पन्न एक सख्त संकुचन तर्क के माध्यम से एंडपॉइंट बाधाओं को दूर करता है।
यह शोध पत्र मल्टीप्लिकेटिव लेवी शोर (multiplicative Lévy noise) द्वारा संचालित रैखिक रूप से डैम्प्ड (linearly damped) KdV समीकरण के लिए में पाथवाइज वीक सॉल्यूशंस (pathwise weak solutions) के अस्तित्व और विशिष्टता को स्थापित करता है और यह सिद्ध करता है कि, पर्याप्त रूप से मजबूत डैम्पिंग के तहत, समय जंप (time jumps) की उपस्थिति के बावजूद, यह प्रणाली में एक इनवेरिएंट मेजर (invariant measure) स्वीकार करती है।
यह शोधपत्र अर्ध-रैखिक दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरणों (semilinear elliptic partial differential equations) द्वारा बाधित आकार अनुकूलन समस्याओं के लिए लिप्सचिट्ज़ टोपोलॉजी (Lipschitz topology) में स्टीपेस्ट डिसेंट विधि की वैश्विक अभिसरण (global convergence) स्थापित करता है, साथ ही दो आयामों में परिणामी आकारों के लिए एक सशर्त अभिसरण परिणाम भी प्रदान करता है।
यह शोधपत्र एलिप्टिक ट्रैवलिंग वेव्स से युक्त स्टेप-लाइक प्रारंभिक डेटा के लिए फोकसिंग नॉनलिनियर श्रोडिंगर समीकरण हेतु डायरेक्ट और इनवर्स स्कैटरिंग फ्रेमवर्क स्थापित करता है, जो इनवर्स समस्या को एक समाधान योग्य रीमैन-हिल्बर्ट समस्या के रूप में प्रतिपादित करता है जो फुल सॉलिटॉन-गैस प्रारंभिक डेटा तक सामान्यीकृत होती है।
यह शोधपत्र एक गैर-रैखिक, फ्रेम-स्वतंत्र (frame-indifferent) मॉडल से केल्विन-वोइग्ट रियोलॉजी (Kelvin-Voigt rheology) में रैखिकीकृत विस्कोइलास्टोडायनामिक्स (linearized viscoelastodynamics) के समीकरणों को कठोरता से व्युत्पन्न करता है और गैर-रैखिक एवं रैखिकीकृत प्रणालियों के बीच निरंतर और समय-विविक्त (time-discrete) दोनों समाधानों के अभिसरण को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र एक विस्कस (viscosity) विहीन संपीड़ित तरल में एक कठोर पिंड (rigid body) के लिए वैनिशिंग विस्कॉसिटी लिमिट (vanishing viscosity limit) के माध्यम से विसरित मापन-मान वाले समाधानों (dissipative measure-valued solutions) के स्थानीय-समय अस्तित्व को सिद्ध करके और एक नवीन टेस्ट फंक्शन सन्निकटन तकनीक के माध्यम से उनकी कमजोर-मजबूत विशिष्टता (weak-strong uniqueness) को प्रदर्शित करके, संपीड़ित अदिश तरल-संरचना अंतःक्रिया (compressible inviscid fluid-structure interaction) पर पहले गणितीय परिणाम स्थापित करता है।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करके कि प्रमुख रीसेंटरिंग मैप (recentering map) को मॉलियाविन डेरिवेटिव्स (Malliavin derivatives) के माध्यम से समतुल्य रूप से अभिलक्षित किया जा सकता है, रेगुलैरिटी स्ट्रक्चर्स (regularity structures) में रिनॉर्मलाइज्ड मॉडल्स के अभिसरण (convergence) के लिए स्पेक्ट्रल गैप प्रमाणों का एक बीजगणितीय एकीकरण प्रदान करता है।
यह शोध पत्र बाइफरकेशन थ्योरी (bifurcation theory) का उपयोग करके रेगुलराइज्ड कैमासा-होल्म समीकरण के लिए शून्य-माध्य (zero-mean) आवधिक ट्रैवलिंग वेव समाधानों के अस्तित्व को स्थापित करता है, मानक कैमासा-होल्म मॉडल में उनकी गैर-अस्तित्व की पुष्टि करता है, और संरक्षित मात्राओं के सापेक्ष लियापुनोव फलन (Lyapunov functional) के द्वितीय विचरण (second variation) की आइजनवैल्यू संरचना का विश्लेषण करके उनकी स्पेक्ट्रल और ऑर्बिटल स्थिरता निर्धारित करता है।
यह शोध पत्र एक फूरियर मल्टीप्लायर रेगुलराइजेशन विधि प्रस्तावित करके रैखिक तरंग समीकरण (linear wave equation) की अस्थिरता और कॉम्पैक्ट इनवर्स समस्याओं को संबोधित करता है जो स्थिरता सुनिश्चित करती है, जिसके अनुप्रयोग हाइपरबोलिक PDE द्वारा मॉडल किए गए डीप न्यूरल नेटवर्क के स्थिरता विश्लेषण तक विस्तृत हैं।
यह शोध पत्र प्रायिकता मापों (probability measures) के स्थान में एक निरंतरता समीकरण (continuity equation) के लिए समय-इष्टतम नियंत्रण समस्या (time-optimal control problem) की जांच करता है, जिसमें इसके डायनेमिक प्रोग्रामिंग सिद्धांत को व्युत्पन्न करना, यह सिद्ध करना कि मान फलन (value function) का क्रुज़कोव रूपांतरण (Kruzhkov transform) संबद्ध हैमिल्टन-जैकॉबी समीकरण का अद्वितीय विच्छिन्न विस्कस समाधान (discontinuous viscosity solution) है, और विक्षोभों (perturbations) के तहत मान फलन का -अभिसरण (convergence) स्थापित करना शामिल है।