2037 पेपर
यह शोधपत्र समतलीय समरूपता के अंतर्गत तीन-आयामी टोरस पर संपीड्य चुंबकीय विश्रांति समीकरणों (compressible Magnetic Relaxation Equations) की जांच करता है, जो सुचारू प्रारंभिक डेटा के लिए स्थानीय सु-समाधान (local well-posedness) स्थापित करता है, स्थिर अवस्थाओं के विक्षोभों के लिए चुंबकीय विश्रांति को सिद्ध करता है, और किसी भी संभावित विलक्षणता से पूर्व निर्वात अवस्थाओं या विष्फोटों (implosions) की अनुपस्थिति को प्रदर्शित करता है।
यह शोध पत्र बढ़ते सक्रिय बूंदों (एक्टिव ड्रॉपलेट्स) का एक न्यूनतम गणितीय मॉडल और एसिम्प्टोटिक विश्लेषण प्रस्तुत करता है ताकि यह समझाया जा सके कि कैसे कोशिका समुच्चय (सेल एग्रीगेट्स) कीमोटैक्सिस के दौरान निरंतर या विच्छिन्न रूपात्मक परिवर्तनों से गुजरते हैं, जो संपर्क रेखा गतिकी (कॉन्टैक्ट लाइन डायनेमिक्स) से उत्पन्न होने वाले घातांकीय रूप से सूक्ष्म पदों द्वारा संचालित होते हैं और दो प्रमुख आयामहीन मापदंडों द्वारा नियंत्रित होते हैं।
यह शोध पत्र फ्लो के स्मूथिंग प्रभाव (smoothing effect) का उपयोग करते हुए, कुछ विभवों (potentials) के साथ श्रोडिंजर समीकरण के गैर-रैखिक मामले पर डाहलबर्ग और केनिग के लघु-समय लगभग सर्वत्र अभिसरण (small-time almost everywhere convergence) के सटीक परिणाम का विस्तार करता है, और साथ ही यह भी जांच करता है कि जब नियमितता सूचकांक से कम होता है, तब मैक्सिमल ऑपरेटर के लिए -समतुल्यता (boundedness) की विफलता क्या होती है।
यह शोधपत्र यह प्रदर्शित करता है कि गैर-तुच्छ (non-trivial) समाधानों वाली गैर-रेखीय विसरणात्मक समीकरणों (nonlinear dispersive equations) का एक विस्तृत वर्ग, जिसमें भिन्नात्मक-क्रम (fractional-order) प्रणालियाँ भी शामिल हैं, किसी भी समय अंतराल के दौरान कॉम्पैक्टली समर्थित (compactly supported) नहीं रह सकते, जब तक कि विक्षेपण संबंध (dispersion relation) एक विश्लेषणात्मक विस्तार (analytic extension) को स्वीकार न करता हो, जो कि जटिल-विश्लेषणात्मक तर्कों और पले-विएर-श्वार्ट्ज़ (Paley-Wiener-Schwartz) प्रमेय के माध्यम से स्थापित किया गया एक परिणाम है।
यह शोधपत्र एक कमजोर अभिसरण दृष्टिकोण (weak convergence approach) का उपयोग करते हुए एक क्रिटिकल वेरिएशनल सेटिंग में अर्ध-रैखिक स्टोकेस्टिक इवोल्यूशन समीकरणों के लिए लार्ज डेविएशन सिद्धांत को स्थापित करता है, जिसमें किसी भी मोनोटोनिसिटी या कॉम्पैक्ट एम्बेडिंग धारणा की आवश्यकता नहीं है और इस प्रकार अनबाउंडेड डोमेन पर ग्रेडिएंट नॉइज़ वाले 2D नेवियर-स्टोक्स और बुसिनेसक प्रणालियों जैसे समीकरणों से संबंधित 15 साल की खुली समस्या को हल करता है।
यह शोध पत्र में परिबद्ध, खुले और उत्तल समुच्चयों (sets) पर टॉर्शनल रिजिडिटी (torsional rigidity) और प्रथम डिरिचलेट-लाप्लासियन आइजनवैल्यू (first Dirichlet-Laplacian eigenvalue) से जुड़े आकार फलन (shape functionals) के लिए नए मात्रात्मक सीमाएँ स्थापित करता है, जो उनके अनुकूलन अनुक्रमों (optimizing sequences) के व्यवहार और संरचनात्मक गुणों, जैसे कि मोटाई (thickness), में महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।
यह शोध पत्र मूविंग प्लेन और अलेक्जेंड्रोव रिफ्लेक्शन जैसी ज्यामितीय तकनीकों का उपयोग करते हुए गोलाकार पर -एक्सट्रीमल डोमेन की जांच करता है ताकि यह सिद्ध किया जा सके कि ऐसे डोमेन और उनके संबंधित समाधान घूर्णी या प्रतिपक्षी समरूपता (रोटेशनल या एंटीपोडल सिमेट्री) रखते हैं, विशेष रूप से आइजनवैल्यू और सेरिन समस्याओं सहित विशिष्ट नॉन-लिनियरिटीज़ के लिए।
यह शोध पत्र विशिष्ट उत्तलता (convexity) धारणाओं के तहत पूर्णतः निरंतर मापों (absolutely continuous measures) के लिए, क्वाड्रेटिक यूक्लिडियन सेटिंग में, ब्रिएर पोटेंशियल (Brenier potential) और उसके ग्रेडिएंट की ओर एंट्रोपिक पोटेंशियल (entropic potentials) और उनके ग्रेडिएंट दोनों के लिए समान अभिसरण दरें (uniform convergence rates) स्थापित करता है।
यह शोध-पत्र एक उन्नत, गैर-तीक्ष्ण (non-sharp) स्पेक्ट्रल असमानता प्रस्तुत करता है जो डिरिचलेट लैप्लासियन के प्रथम आइजनमान (eigenvalue) को बकलिंग समस्या के आइजनमान से संबंधित पेने के मूल अनुमान को परिष्कृत करती है, जिससे आगे के स्पेक्ट्रल सिद्धांत अनुसंधान के लिए निहितार्थों के साथ एक मात्रात्मक संवर्धन स्थापित होता है।
यह शोध पत्र लुमेर-फिलिप्स प्रमेय के माध्यम से प्रणाली की सुव्यवस्थितता (well-posedness) को सिद्ध करके और एक नवीन भारित लयापुनोव फलन (weighted Lyapunov functional) का उपयोग करके एक सटीक क्षय दर (decay rate) व्युत्पन्न करके, गैर-समान अक्षीय बल और विलंबित सीमा नियंत्रण (delayed boundary control) के तहत एक डिजेनरेट यूलर-बर्नौली बीम की वैश्विक घातांकीय स्थिरता (global exponential stability) स्थापित करता है।