2037 पेपर
यह शोधपत्र शौडर-टायकोनोफ फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय का एक स्टोकेस्टिक संस्करण स्थापित करता है और गैर-लिप्सचिट्ज़ विक्षोभों (non-Lipschitz perturbations) वाले गैररेखीय स्टोकेस्टिक विसरण समीकरणों के समाधानों की अस्तित्व सिद्ध करने में इसके अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है।
यह शोध पत्र आंशिक सीमा मापों (boundary measurements) से समय-निर्भर मैक्सवेल समीकरणों में परावैद्युत पारगम्यता (dielectric permittivity) और चालकता (conductivity) को एक साथ पुनर्गठित करने के लिए एक कमजोर लैग्रेंजियन सूत्रीकरण (weak Lagrangian formulation) पर आधारित एक परिवर्तनशील अनुकूलन ढांचे (variational optimization framework) को प्रस्तुत करता है, जो सैद्धांतिक स्थिरता विश्लेषण द्वारा समर्थित है और 2D एवं 3D संख्यात्मक प्रयोगों के माध्यम से मान्य है।
यह शोधपत्र एक-आयामी और दो-आयामी में स्टोकेस्टिक लैंडौ-लिफ़्शिट्ज़-ब्लॉक समीकरण का सन्निकटन करने वाले अर्ध-निहित (semi-implicit) और पूर्णतः निहित (implicit) पूर्णतः विविक्त परिमित तत्व योजनाओं (finite element schemes) के लिए स्पष्ट दरों के साथ सुदृढ़ अभिसरण स्थापित करता है, जो स्थानीयकृत त्रुटि अनुमानों और नए घातांकीय मोमेंट बाउंड्स का उपयोग करता है जो स्थिरता और अद्वितीयता परिणाम भी प्रदान करते हैं।
यह शोधपत्र "गलत चिह्न" वाले निम्न-क्रम के पदों वाले मिश्रित स्थानीय और गैर-स्थानीय ऑपरेटरों के वर्णक्रम सिद्धांत (spectral theory) की जांच करता है, जो एक नियमितता ढांचे को स्थापित करता है और विच्छेदित डोमेन (disconnected domains) में अद्वितीय वर्णक्रम गुणों—जैसे कि चिह्न-परिवर्तित प्रथम आइजनफंक्शंस और गैर-योगात्मक आइजनवैल्यूज़—को प्रकट करता है, जबकि यह प्रदर्शित करता है कि जैसे-जैसे गैर-स्थानीय प्रभाव स्थानीयकृत होते हैं, यह शास्त्रीय दीर्घवृत्तीय व्यवहार (classical elliptic behavior) की ओर अभिसरित होता है।
यह शोधपत्र विलक्षण, अनिसोट्रोपिक कर्नेल वाले नॉनलोकल कन्वोल्यूशन ऑपरेटर्स के स्थानीय डिफरेंशियल ऑपरेटर्स (प्राकृतिक सीमा स्थितियों के साथ) की सुदृढ़ -अभिसरण को स्थापित और परिमाणित करता है, जो अधिक सुदृढ़ विलक्षणताओं को शामिल करने के लिए पिछले परिणामों का विस्तार करता है और स्पष्ट अभिसरण दर प्रदान करता है।
यह शोध पत्र शुबिन, वैकिलियन, वुल्फ और कोवरिकिन द्वारा विकसित मात्रात्मक अनिश्चितता सिद्धांतों का लाभ उठाते हुए, घटते घनत्व वाले मापने योग्य समुच्चयों पर यूक्लिडियन स्थान में श्रोडिंगर समीकरण के लिए अवलोकनीयता असमानताओं को स्थापित करता है।
यह शोध पत्र दो-आयामी टोरस पर केलर-सेगल-डीन-कावासाकी गतिकी के एक एडिटिव-नॉइज़ सन्निकटन (additive-noise approximation) के लिए एक पैराकंट्रोल्ड समाधान की स्थानीय सुव्यवस्थितता (local well-posedness) को स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि शोर की अनियमितता के लिए ऐसे पुनर्संरचना (renormalization) की आवश्यकता होती है जो एलिप्टिक ग्रीन्स फंक्शन की समरूपता से उत्पन्न होने वाले निरस्तीकरण (cancellations) के कारण अधिकतम लघुगणकीय (logarithmically) रूप से अपसारी होता है।
कैलिब्रेशन विधि के मुक्त-सीमा अनुकूलन (free-boundary adaptation) का उपयोग करते हुए, यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि आयाम के लिए, एक पर्याप्त चौड़े गोलाकार शंकु (circular cone) और एक अक्षीय हाइपरप्लेन (axial hyperplane) का प्रतिच्छेदन क्षेत्रफल-न्यूनतम (area-minimizing) है, जिससे हाल ही के वर्टेक्स-स्किपिंग प्रमेय (Vertex-skipping Theorem) के लिए एक प्रति-उदाहरण प्राप्त होता है।
यह शोध पत्र डिरिचलेट या न्यूमैन सीमा स्थितियों के तहत मूसिएलाक-ओरलच (Musielak-Orlicz) विकास वाले डाइवर्जेंस रूप की एलिप्टिक समीकरणों के परिबद्ध सामान्यीकृत समाधानों के लिए वैश्विक -नियमितता स्थापित करता है, जिससे गैर-मानक विकास और सीमा व्यवहार के बीच परस्पर संबंध पर नई स्थितियों को पेश करते हुए वेरिएबल एक्सपोनेंट, ओरलच, और -ग्रोथ सेटिंग्स में मौजूदा परिणामों का विस्तार और सामान्यीकरण किया जाता है।
यह शोध पत्र एक एकीकृत रूपरेखा प्रस्तावित करता है जो भौतिकी-सूचित तंत्रिका नेटवर्क (PINNs) और न्यूरल ऑपरेटर्स (NOs) को तीन मौलिक आयामों—क्या सीखा जा रहा है, भौतिकी को कैसे एकीकृत किया जाता है, और कम्प्यूटेशनल भार का परिशोधन (amortization) कैसे किया जाता है—के आधार पर वर्गीकृत करता है, ताकि विश्वसनीय शिक्षण-आधारित PDE सॉल्वर विकसित करने में उनके संबंधों, सीमाओं और भूमिकाओं को स्पष्ट किया जा सके।