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Nonlocal-to-local $L^p$ -convergence of convolution operators with singular, anisotropic kernels

यह शोधपत्र विलक्षण, अनिसोट्रोपिक कर्नेल वाले नॉनलोकल कन्वोल्यूशन ऑपरेटर्स के स्थानीय डिफरेंशियल ऑपरेटर्स (प्राकृतिक सीमा स्थितियों के साथ) की सुदृढ़ $L^p$ -अभिसरण को स्थापित और परिमाणित करता है, जो अधिक सुदृढ़ विलक्षणताओं को शामिल करने के लिए पिछले परिणामों का विस्तार करता है और स्पष्ट अभिसरण दर प्रदान करता है।

मूल लेखक: Helmut Abels, Christoph Hurm, Patrik Knopf

प्रकाशित 2026-02-23

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CC BY 4.0

मूल लेखक: Helmut Abels, Christoph Hurm, Patrik Knopf

मूल पेपर CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/) के तहत लाइसेंस किया गया है। ✨ नीचे दिए गए पेपर की यह व्याख्या AI से तैयार की गई है। इसे लेखकों ने न तो लिखा है, न इसका समर्थन किया है। तकनीकी सटीकता के लिए मूल पेपर देखें। पूरा डिस्क्लेमर पढ़ें

कल्पना कीजिए कि आप यह समझने की कोशिश कर रहे हैं कि शहर के बीच से लोगों की भीड़ कैसे चलती है।

पुराना तरीका (स्थानीय मॉडल - Local Models):
परंपरागत रूप से, गणितज्ञ इसे एक व्यक्ति को देखकर मॉडल करते हैं और पूछते हैं, "मेरे तुरंत आस-पास के पड़ोसी मुझे कैसे धकेल या खींच रहे हैं?" यह एक दीवार में लगे एक अकेले ईंट को देखने जैसा है और केवल उन ईंटों की परवाह करना जो उसे छू रही हैं। इसे लोकल (स्थानीय) मॉडल कहा जाता है। यह सरल है, लेकिन यह मान लेता है कि आप केवल अपने ठीक बगल वाले लोगों के साथ ही अंतःक्रिया (interact) करते हैं।

नया तरीका (गैर-स्थानीय मॉडल - Nonlocal Models):
लेकिन वास्तव में, लोग तीन ब्लॉक दूर खड़े व्यक्ति या स्टेडियम से चिल्लाते हुए एक पूरे समूह से भी प्रभावित हो सकते हैं। यह एक नॉनलोकल (गैर-स्थानीय) मॉडल है। आप शहर के हर व्यक्ति से प्रभावित होते हैं, लेकिन दूरी बढ़ने के साथ उनका प्रभाव कमजोर होता जाता है।

समस्या:
नॉनलोकल मॉडल जटिल, वास्तविक दुनिया की भौतिकी (जैसे कि क्रिस्टल का बढ़ना या सामग्रियों का टूटना) का वर्णन करने के लिए बेहतरीन हैं, लेकिन उन्हें कंप्यूटर के साथ हल करना अविश्वसनीय रूप से कठिन है। लोकल मॉडल को हल करना आसान है।

इसलिए, वैज्ञानिकों के पास एक बड़ा सवाल है: "क्या हम यह साबित कर सकते हैं कि यदि हम 'पहुंच' (reach) के नॉनलोकल प्रभाव को बहुत, बहुत छोटा कर दें, तो क्या यह बिल्कुल साधारण लोकल मॉडल की तरह व्यवहार करेगा?"

यदि उत्तर 'हाँ' है, तो हम इस बात को सही ठहराने के लिए सरल लोकल मॉडल का उपयोग कर सकते हैं कि वास्तविक दुनिया में वह क्यों काम करता है।

यह शोध पत्र क्या करता है

Abels, Hurm, और Knopf द्वारा लिखा गया यह शोध पत्र एक मास्टर आर्किटेक्ट की तरह है जो यह सिद्ध कर रहा है कि दो बहुत अलग ब्लूप्रिंट वास्तव में एक ही इमारत का वर्णन करते हैं, वह भी कुछ बहुत ही कठिन परिस्थितियों के तहत।

यहाँ उनके ब्रेकथ्रू का सरल उपमाओं (analogies) का उपयोग करके विवरण दिया गया है:

1. "धुंधले लेंस" की उपमा (अभिसरण - Convergence)

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक बहुत ही वाइड-एंगल, धुंधला लेंस वाला कैमरा (एक नॉनलोकल ऑपरेटर) है। आप एक स्पष्ट, तीक्ष्ण वस्तु (एक लोकल डिफरेंशियल ऑपरेटर) की तस्वीर ले रहे हैं।

लक्ष्य: जैसे-जैसे आप ज़ूम इन करते हैं और लेंस को तेज (sharpen) करते हैं (पैरामीटर $\epsilon$ को शून्य की ओर ले जाते हैं), धुंधली तस्वीर अंततः स्पष्ट तस्वीर जैसी दिखनी चाहिए।
शोध पत्र की उपलब्धि: उन्होंने सिद्ध किया कि चाहे आप तस्वीर को किसी भी तरह से देखें (विभिन्न गणितीय "लेंस" जिन्हें $L^p$ स्पेस कहा जाता है), धुंधली छवि स्पष्ट छवि में परिवर्तित (converge) हो जाती है। उन्होंने केवल यह नहीं कहा कि "यह करीब पहुँचता है"; उन्होंने यह भी गणना की कि यह कितनी तेजी से वहाँ पहुँचता है। यह कहने जैसा है कि, "यदि आप 10% ज़ूम इन करते हैं, तो तस्वीर 10% अधिक स्पष्ट हो जाती है।"

2. "हेवी मेटल" की उपमा (सिंगुलर कर्नेल - Singular Kernels)

पिछले अध्ययनों में, बिंदुओं के बीच का "प्रभाव" एक मंद हवा की तरह था। यदि आप स्रोत के बहुत करीब पहुँच जाते, तो हवा बस थोड़ी और तेज हो जाती।

नया मोड़: यह शोध पत्र प्रभाव को एक ब्लैक होल या सिंगुलैरिटी (singularity) की तरह होने की अनुमति देता है। जैसे-जैसे आप स्रोत के करीब आते हैं, बल अनंत (गणितीय रूप से) हो जाता है। इसे संभालना बहुत कठिन है क्योंकि संख्याएँ अनियंत्रित (blow up) हो जाती हैं।
उपलब्धि: उन्होंने सिद्ध किया कि इन "अनंत बल" वाली अंतःक्रियाओं (जो क्वांटम भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले फ्रैक्शनल लैपलेसियन के समान हैं) के बावजूद, गणित बरकरार रहता है और स्थानीय मॉडल में परिवर्तित हो जाता है।

3. "एनिसोट्रोपिक" (Anisotropic) की उपमा (दिशा का महत्व)

कल्पना कीजिए कि एक भीड़ गलियारे से गुजर रही है।

आइसोट्रोपिक (पुरानी धारणा): भीड़ सभी दिशाओं में समान रूप से धक्का देती है। यह प्रभाव के एक पूर्ण वृत्त की तरह है।
एनिसोट्रोपिक (नई धारणा): गलियारा संकरा है। लोग आगे और पीछे आसानी से धक्का दे सकते हैं, लेकिन बगल में धक्का देना बहुत कठिन है। प्रभाव एक वृत्त के बजाय एक फुटबॉल की तरह खिंचा हुआ है।
उपलब्धि: अधिकांश पिछले गणित ने माना था कि प्रभाव एक पूर्ण वृत्त है। यह शोध पत्र "फुटबॉल" के आकार को भी संभालता है। उन्होंने दिखाया कि भले ही अंतःक्रियाएं खिंची हुई और दिशात्मक (anisotropic) हों, फिर भी सिस्टम एक अनुमानित स्थानीय पैटर्न में स्थिर हो जाता है, बस इसके परिणामस्वरूप बनने वाले समीकरण का "आकार" अलग होता है।

4. "वक्राकार कमरे" की उपमा (सीमाएं - Boundaries)

कल्पना कीजिए कि आप एक पूरी तरह से गोल पूल बनाम एक टेढ़े-मेढ़े, वक्राकार किनारे वाले पूल में बहते पानी का मॉडल बनाने की कोशिश कर रहे हैं।

चुनौती: जब आप एक वक्राकार कमरे के किनारे के पास होते हैं, तो "नॉनलोकल" प्रभाव दीवार से टकराता है और अजीब तरीके से वापस आता है। एक अनंत खुले क्षेत्र की तुलना में यहाँ गणित को सिद्ध करना बहुत कठिन है।
उपलब्ची: उन्होंने सिद्ध किया कि यह जटिल, वक्राकार सीमाओं (जैसे कि एक क्रिस्टल की सतह या एक जैविक कोशिका) के लिए भी काम करता है, न कि केवल सपाट, अनंत स्थानों के लिए।

यह क्यों मायने रखता है?

इसे इंजीनियरों द्वारा प्रतिदिन उपयोग किए जाने वाले मॉडलों के लिए भौतिक औचित्य (physical justification) के रूप में समझें।

पहले: इंजीनियर सरल स्थानीय समीकरणों (जैसे हीट इक्वेशन) का उपयोग करते थे क्योंकि उन्हें हल करना आसान था। वे आशा करते थे कि यह वास्तविकता से मेल खाएगा, लेकिन वे हमेशा यह सिद्ध नहीं कर पाते थे कि यह क्यों काम करता है।
अब: यह शोध पत्र कहता है, "हमने जटिल, बिखरी हुई, लंबी दूरी की भौतिकी (नॉनलोकल) को लिया है, इसमें वास्तविक दुनिया की जटिलताएं (सिंगुलैरिटीज, अजीब आकार, दिशात्मक बल) जोड़ी हैं, और गणितीय रूप से सिद्ध किया है कि जब आप इसे करीब से देखते हैं, तो यह सरल स्थानीय समीकरण (लोकल डिफरेंशियल ऑपरेटर) बन जाता है।"

संक्षेप में:
उन्होंने एक बहुत ही जटिल, बिखरा हुआ और कठिन समाधान वाला गणितीय समस्या (सिंगुलर, दिशात्मक कर्नेल के साथ नॉनलोकल ऑपरेटर) लिया और सिद्ध किया कि जब आप इसे करीब से देखते हैं, तो यह विश्वसनीय रूप से एक सरल, समाधान योग्य समस्या (लोकल डिफरेंशियल ऑपरेटर) में बदल जाता है। उन्होंने यह बहुत उच्च स्तर की सटीकता के साथ किया, जिससे हमें यह पता चलता है कि यह संक्रमण कितनी तेजी से होता है, जो वास्तविक दुनिया के सटीक कंप्यूटर सिमुलेशन बनाने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

यहाँ हेलमुट एबल्स, क्रिस्टोफ़ हुर्म और पैट्रिक क्नोफ़ के शोध पत्र "Nonlocal-to-local $L^p$ -convergence of convolution operators with singular, anisotropic kernels" का विस्तृत तकनीकी सारांश दिया गया है।

1. समस्या विवरण (Problem Statement)

यह शोध पत्र नॉनलोकल कन्वोल्यूशन-टाइप ऑपरेटर्स के उस व्यवहार की जांच करता है जब इंटरेक्शन कर्नेल (interaction kernel) मूल बिंदु (origin) पर केंद्रित होता है। विशेष रूप से, लेखक उन ऑपरेटर्स का अध्ययन करते हैं जो इस रूप में परिभाषित हैं:
$L^\Omega_\varepsilon u(x) = \text{P.V.} \int_\Omega J_\varepsilon(x-y) \big(u(x) - u(y)\big) \, dy$
जहाँ कर्नेल को $J_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-n} \rho(x/\varepsilon) / |x|^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

मुख्य उद्देश्य इन ऑपरेटर्स के एक लोकल सेकंड-ऑर्डर डिफरेंशियल ऑपरेटर की ओर नॉनलोकल-टू-लोकल कन्वर्जेंस को कठोरता से स्थापित करना और उसे परिमाणित (quantify) करना है:
$L^\Omega u(x) = -\text{div}(M \nabla u) = -\sum_{i,j=1}^n M_{ij} \partial_{x_i} \partial_{x_j} u(x)$
जहाँ $M$ एक सिमेट्रिक "मोमेंटम मैट्रिक्स" है जो कर्नेल के सेकंड मोमेंट्स द्वारा निर्धारित होता है। यह कन्वर्जेंस $W^{k,p}(\Omega)$ के सोबोलेव स्पेस (Sobolev spaces) में फलन $u$ के लिए स्ट्रॉन्ग $L^p$ टोपोलॉजी ( $1 \le p < \infty$ ) में अध्ययन किया गया है, जिसमें स्पष्ट कन्वर्जेंस रेट्स भी शामिल हैं।

प्रमुख चुनौतियाँ जिनका समाधान किया गया है:

सिंगुलर कर्नेल्स (Singular Kernels): कर्नेल्स को मूल बिंदु पर सिंगुलैरिटी (singularity) रखने की अनुमति है जो फ्रैक्शनल लैपलेसियन (fractional Laplacians, क्रम $s \in (0,1)$ ) के समान है, जो कि पहले से अध्ययन किए गए $W^{1,1}_{loc}$ कर्नेल्स की तुलना में अधिक प्रबल हैं।
एनिसोट्रॉपी (Anisotropy): कर्नेल $\rho$ के लिए रेडियल सिमेट्री अनिवार्य नहीं है, जो दिशा-निर्भर इंटरेक्शन (anisotropy) की अनुमति देता है।
सामान्य डोमेन (General Domains): परिणाम केवल फ्लैट टोरस या सरल ज्यामिति वाले बाउंडेड डोमेन तक ही सीमित नहीं हैं, बल्कि अनबाउंडेड डोमेन और कॉम्पैक्ट, कर्व्ड बाउंड्री वाले डोमेन पर भी लागू होते हैं।
स्ट्रॉन्ग कन्वर्जेंस और रेट्स (Strong Convergence & Rates): ऊर्जा या ऑपरेटर्स के वीक कन्वर्जेंस से आगे बढ़कर, स्पष्ट एरर बाउंड्स के साथ $L^p$ में स्ट्रॉन्ग कन्वर्जेंस को सिद्ध करना।

2. कार्यप्रणाली और धारणाएँ (Methodology and Assumptions)

कर्नेल पर धारणाएँ

लेखक स्केलिंग फंक्शन $\rho: \mathbb{R}^n \to [0, \infty)$ पर विशिष्ट शर्तें लागू करते हैं:

इंटीग्रिबिलिटी और सिमेट्री: $\rho$ सम (even) है, गैर-ऋणात्मक है, और $\int \rho(x)(1+|x|)dx < \infty$ को संतुष्ट करता है।
सिंगुलैरिटी कंट्रोल: $\rho$ मूल बिंदु के पास $|x|^{2-\alpha-n}$ की तरह व्यवहार करता है जहाँ $\alpha \in (0, 2)$ है, जो फ्रैक्शनल लैपलेसियन $(-\Delta)^s$ (जहाँ $\alpha = 2s$ ) के समान सिंगुलैरिटी की अनुमति देता है।
एनिसोट्रॉपी कंडीशन: एक महत्वपूर्ण तकनीकी शर्त (Assumption A2, Eq. 2.7) यह सुनिश्चित करती है कि कर्नेल का बाउंड्री के साथ इंटरेक्शन एक विशिष्ट तरीके से शून्य हो जाता है। इसमें मैट्रिक्स $A = \sqrt{M}$ शामिल है और इसके लिए आवश्यक है कि:
$\int_{\mathbb{R}^{n-1}} J\left(AQ \begin{pmatrix} z' \\ z_n \end{pmatrix}\right) z' \, dz' = 0$
सभी रोटेशन्स $Q$ के लिए। यह स्थिति कर्व्ड बाउंड्री और एनिसोट्रोपिक प्रभावों को संभालने के लिए आवश्यक है।

गणितीय ढांचा (Mathematical Framework)

फंक्शन स्पेस: विश्लेषण $W^{k,p}(\Omega)$ के सोबोलेव स्पेस में किया गया है। लोकल ऑपरेटर $L^\Omega$ को प्राकृतिक बाउंडरी कंडीशंस के साथ सुसज्जित किया गया है: $M \nabla u \cdot n_{\partial \Omega} = 0$ on $\partial \Omega$ ।
लोकलाइजेशन स्ट्रैटेजी: सामान्य डोमेन $\Omega$ के लिए, लेखक समस्या को स्थानीय पैच में विभाजित करने के लिए पार्टीशन ऑफ यूनिटी का उपयोग करते हैं। इन पैचों को डिफेोमॉर्फिज्म (diffeomorphisms) के माध्यम से एक "कर्व्ड हाफ-स्पेस" या पूर्ण स्पेस $\mathbb{R}^n$ में मैप किया जाता है।
चेंज ऑफ वेरिएबल्स: मोमेंटम मैट्रिक्स को आइडेंटिटी में नॉर्मलाइज़ करने के लिए एक लीनियर ट्रांसफॉर्मेशन $x \mapsto Ax$ (जहाँ $A = \sqrt{M}$ ) का उपयोग किया जाता है, जिससे एनिसोट्रोपिक समस्या को रूपांतरित डोमेन पर आइसोट्रोपिक समस्या में बदल दिया जाता है।

3. मुख्य योगदान (Key Contributions)

एनिसोट्रोपिक कर्नेल्स का सामान्यीकरण: पिछले कार्यों के विपरीत, जिन्होंने रेडियल सिमेट्री मानी थी, यह शोध पत्र एनिसोट्रोपिक कर्नेल्स को संभालता है। यह क्रिस्टल ग्रोथ जैसे भौतिक मॉडलों के लिए महत्वपूर्ण है जहाँ इंटरेक्शन दिशा पर निर्भर करता है। परिणामी लोकल ऑपरेटर में एक नॉन-डायगोनल डिफ्यूजन मैट्रिक्स $M$ होता है।
स्ट्रॉन्ग $L^p$ कन्वर्जेंस: यह पेपर केवल ऊर्जा फंक्शनल के $\Gamma$ -कन्वर्जेंस पर निर्भर रहने वाले पिछले परिणामों के बजाय स्ट्रॉन्ग कन्वर्जेंस ( $L^\Omega_\varepsilon \to L^\Omega u$ in $L^p$ ) को सिद्ध करता है। यह ऊर्जा या ऑपरेटर्स के वीक कन्वर्जेंस से एक महत्वपूर्ण प्रगति है।
शिथिल नियमितता आवश्यकताएँ (Relaxed Regularity Requirements): लेखक कर्नेल के लिए $W^{1,1}_{loc}$ होने की आवश्यकता को हटा देते हैं। वे अधिक प्रबल सिंगुलैरिटी (फ्रैक्शनल लैपलेसियन प्रकार) की अनुमति देते हैं, जिससे हेवी-टेल्ड इंटरेक्शन वाले नॉनलोकल मॉडलों की प्रयोज्यता बढ़ जाती है।
स्पष्ट कन्वर्जेंस रेट्स: यह पेपर मात्रात्मक एरर बाउंड्स स्थापित करता है:
$\| L^\Omega_\varepsilon u - L^\Omega u \|_{L^p(\Omega)} \le C \varepsilon^{\gamma(p)} \| u \|_{W^{3,p}(\Omega)}$
जहाँ दर $\gamma(p)$ $γ (p)$ डोमेन पर निर्भर करती है:
- $\Omega = \mathbb{R}^n$ (पूर्ण स्पेस) के लिए $\gamma(p) = 1$ है।
- कॉम्पैक्ट बाउंड्री वाले बाउंडेड डोमेन के लिए $\gamma(p) = 1/2$ है।
- बाउंडेड डोमेन के लिए $1/2$ की दर बाउंड्री लेयर प्रभावों के कारण एक ज्ञात सीमा है।
अनबाउंडेड डोमेन: यदि बाउंड्री पर्याप्त रूप से रेगुलर और कॉम्पैक्ट है, तो परिणाम एक्सटीरियर डोमेन (जैसे $\mathbb{R}^n \setminus B_1(0)$ ) तक विस्तारित होते हैं।

4. मुख्य परिणाम (Main Results)

थ्योरम 3.3 (फुल स्पेस $\mathbb{R}^n$ ):
$u \in W^{3,p}(\mathbb{R}^n)$ के लिए, नॉनलोकल ऑपरेटर $O(\varepsilon)$ की दर से लोकल ऑपरेटर की ओर स्ट्रॉन्गली कन्वर्ज करता है:
$\| L^\Omega_\varepsilon u - L^\Omega u \|_{L^p} \le C \varepsilon \| u \|_{W^{3,p}}$

थ्योरम 3.4 (कर्व्ड हाफ-स्पेस):
एक डोमेन के लिए जो ग्राफ $x_n > \gamma(x')$ द्वारा परिभाषित है, एनिसोट्रॉपी कंडीशन (A2) के तहत, ऑपरेटर $O(\sqrt{\varepsilon})$ की दर से कन्वर्ज होता है:
$\| L^\Omega_\varepsilon u + \Delta u \|_{L^p} \le C \sqrt{\varepsilon} \| u \|_{W^{3,p}}$
(नोट: यहाँ हाफ-स्पेस केस के लिए $M=I$ माना गया है, लेकिन तर्क रूपांतरित डोमेन के लिए भी लागू होता है)।

थ्योरम 3.6 (कॉम्पैक्ट बाउंड्री वाला सामान्य डोमेन):
$C^3$ बाउंड्री वाले एक सामान्य डोमेन $\Omega$ के लिए, जो (A1) और (A2) को संतुष्ट करने वाले एनिसोट्रोपिक कर्नेल का उपयोग करता है:

नॉनलोकल ऑपरेटर एक बाउंडेड लीनियर ऑपरेटर $L^\Omega_\varepsilon: W^{2,p}_M(\Omega) \to L^p(\Omega)$ के रूप में विस्तारित होता है।
स्ट्रॉन्ग कन्वर्जेंस सत्य है: $L^\Omega_\varepsilon u \to L^\Omega u$ $L^p(\Omega)$ में।
कन्वर्जेंस रेट $u \in W^{3,p}_M(\Omega)$ के लिए $O(\sqrt{\varepsilon})$ है।

5. महत्व और अनुप्रयोग (Significance and Applications)

लोकल मॉडल्स का भौतिक औचित्य: ये परिणाम माइक्रोस्कोपिक कानूनों से लोकल पार्शियल डिफरेंशियल इक्वेशंस (PDEs) को प्राप्त करने के लिए एक कठोर गणितीय आधार प्रदान करते हैं। यह कहन-हिलियर्ड (Cahn-Hilliard) और एलन-कैन (Allen-Cahn) समीकरणों जैसे मॉडलों के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जहाँ नॉनलोकल लिमिट के बिना माइक्रोस्कोपिक सिद्धांतों से सीधे लोकल संस्करण को प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
एनिसोट्रोपिक सामग्रियां: नॉन-रेडियल कर्नेल्स को शामिल करके, यह सिद्धांत उन सामग्रियों के मॉडलिंग का समर्थन करता जिनमें दिशात्मक गुण होते हैं (जैसे क्रिस्टल, कंपोजिट सामग्रियां) जहाँ डिफ्यूजन या इंटरेक्शन दिशा के अनुसार बदलता है।
संख्यात्मक विश्लेषण (Numerical Analysis): स्पष्ट कन्वर्जेंस रेट्स ( $\sqrt{\varepsilon}$ ) नॉनलोकल न्यूमेरिकल स्कीम्स के विश्लेषण के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। वे शोधकर्ताओं को यह अनुमान लगाने की अनुमति देते कि लोकल PDEs को नॉनलोकल मॉडल्स के साथ अनुमानित करने में कितना एरर उत्पन्न होता है।
मजबूती (Robustness): फ्रैक्शनल लैपलेसियन के समान सिंगुलर कर्नेल्स को संभालने की क्षमता इन परिणामों को विसंगत प्रसार (anomalous diffusion) प्रक्रियाओं और लॉन्ग-रेंज इंटरेक्शन मॉडलों की एक विस्तृत श्रेणी के लिए लागू बनाती है।

संक्षेप में, यह शोध पत्र सिंगुलैरिटी, एनिसोट्रॉपी और सामान्य डोमेन के उपचार को एकीकृत करके और ऐसी सामान्य सेटिंग्स के लिए पहले स्ट्रॉन्ग $L^p$ कन्वर्जेंस रेट्स प्रदान करके नॉनलोकल ऑपरेटर्स के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण प्रगति का प्रतिनिधित्व करता है।