2037 पेपर
यह शोध पत्र आंशिक अवकल समीकरणों (partial differential equations) के अज्ञात कार्यात्मक घटकों को डेटा से पुनः प्राप्त करने की एक विधि प्रदर्शित करता है, जो न्यूरल नेटवर्क को PDE ढांचे में समाहित करके, डेटा की मात्रा, नमूना घनत्व और शोर जैसे कारकों को ध्यान में रखते हुए मानक पैरामीटर-फिटिंग वर्कफ़्लो के माध्यम से इंटरेक्शन कर्नेल और विभव (potentials) के सटीक सन्निकटन को सक्षम बनाता है।
यह शोध पत्र एक रेगुलराइज़र तकनीक को अनुकूलित करके केशिकाओं (कैपिलरीज) के माध्यम से ऑक्सीजन सबडिफ्यूजन को मॉडल करने वाले मल्टी-टर्म फ्रैक्शनल लीनियर समीकरणों की वैश्विक शास्त्रीय समाधान क्षमता (ग्लोबल क्लासिकल सॉल्वेबिलिटी) को स्थापित करता है, जिससे कनवल्शन कर्नेल पर मानक गैर-ऋणात्मकता (नॉन-नेगेटिविटी) की धारणा को हटाया जा सके, और साथ ही इस समस्या को संख्यात्मक दृष्टिकोण से भी संबोधित करता है।
यह शोधपत्र स्व-समान चरों (self-similar variables) का उपयोग करते हुए और एक उपयुक्त रूप से चुने गए अपरिवर्तित अर्ध-रैखिक ऊष्मा समीकरण (unperturbed semilinear heat equation) के समाधान के माध्यम से प्रवणता प्रभावों (gradient effects) को नियंत्रित करके, प्रवणता पदों वाले विक्षोभित गैर-रैखिक ऊष्मा समीकरणों के समाधानों के लिए एकल-बिंदु विस्फोट गुण (single-point blow-up property) स्थापित करता है और एक तीक्ष्ण, गैर-स्पष्ट विस्फोट प्रोफाइल (sharp, non-explicit blow-up profile) व्युत्पन्न करता है।
यह शोधपत्र द्रव्यमान और संवेग बाधाओं के तहत एक ऊर्जा फलन को न्यूनतम करके, सममित घटती पुनर्व्यवस्थाओं (symmetric decreasing rearrangements) पर आधारित नवीन अनुमानों द्वारा समर्थित एकाग्रता-संपीडन तर्क (concentration-compactness argument) का उपयोग करते हुए, एक-आयामी डिफोकसिंग ग्रॉस-पिटाएव्स्की प्रणालियों में सबसोनिक, सममित डार्क-ब्राइट सॉलिटॉन्स के अस्तित्व को कठोरता से सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र एक नए हॉप-प्रकार के स्ट्रॉन्ग कंपैरिजन प्रिंसिपल को व्युत्पन्न करके और अस्तित्व, गैर-अस्तित्व, तथा बहुलता (मल्टीप्लिसिटी) शासन के बीच अंतर करने वाले एक तीक्ष्ण थ्रेशोल्ड पैरामीटर की पहचान करके, एक मिश्रित स्थानीय-गैर-स्थानीय ऑपरेटर द्वारा संचालित एक सिंगुलर एलिप्टिक समस्या के लिए एक वैश्विक मल्टीप्लिसिटी परिणाम स्थापित करता है।
यह शोध पत्र के उन परिबद्ध उप-विश्लेषणात्मक (subanalytic) चिकनी उप-बहुविधों (submanifolds) का अभिलक्षणण करता है जिनके लिए सोबोलेव स्थानों (Sobolev spaces) में न्यूमैन नियमित (Neumann regular) चिकने फलन सघन होते हैं, यह स्थापित करते हुए कि सघनता तब होती है जब और केवल तभी जब वह बहुविध लगभग प्रत्येक (प्रत्येक के लिए) या प्रत्येक (बड़े के लिए) सीमा बिंदु पर संबद्ध हो, जो कि लिप्सिट्ज़ न्यूमैन नियमित विभाजक एकता (partitions of unity) के निर्माण के माध्यम से सिद्ध किया गया एक परिणाम है।
यह शोध पत्र -ग्रोथ और सोबोलेव-क्लास -निर्भरता वाले गैर-स्वायत्त इंटीग्रल फंक्शनल्स के लिए मिनिमाइज़र्स की स्थानीय लिप्सचिट्ज़ रेगुलैरिटी को एक एकीकृत दृष्टिकोण प्रस्तुत करके स्थापित करता है, जो उस महत्वपूर्ण सीमा मामले को कवर करता है जहाँ का अनुपात दहलीज तक पहुँच जाता है।
यह शोधपत्र निलसन और बैकlundंड द्वारा स्थापित सैद्धांतिक ढांचों का उपयोग करते हुए, एक अत्यंत नियमित ली समूह (Lie group) पर हाइपोएलिप्टिक प्रतीकों के स्पेक्ट्रल स्तरीकरण (spectral stratification) के भीतर मोनोड्रोमी की जांच करता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के लिए प्रारंभिक-से-अंतिम-अवस्था मानचित्र (initial-to-final-state map), में क्रिटिकली-सिंगुलर विभवों (critically-singular potentials) वाले हैमिल्टनियन को अद्वितीय रूप से निर्धारित करता है, जो जटिल ज्यामितीय प्रकाशिकी (complex geometrical optics) समाधानों की आवश्यकता के बिना, अनंत पर क्षय संबंधी धारणाओं को शिथिल करने के लिए परिष्कृत रेज़ोलवेंट अनुमानों (refined resolvent estimates) का उपयोग करते हुए पिछले परिणामों का विस्तार करता है।
यह शोध पत्र गैर-कॉम्पैक्ट सीमाओं वाले मैनिफोल्ड्स (manifolds) पर प्रथम-क्रम एलिप्टिक ऑपरेटरों के लिए एक नियमितता सिद्धांत (regularity theory) और ट्रेस प्रमेय (trace theorems) स्थापित करता है, जो स्थानीय और गैर-स्थानीय सीमा स्थितियों, जिसमें एटिया-पैटोडी-सिंगर (Atiyah-Patodi-Singer) स्थिति शामिल है, और उनके फ्रेडहोम गुणों (Fredholm properties) का अध्ययन करने के लिए एक ढांचा प्रदान करता है।