2037 पेपर
यह शोधपत्र एलिप्टिक छद्म-विभेदक ऑपरेटरों (elliptic pseudo-differential operators) पर आधारित एक स्पेक्ट्रल अपघटन ढांचे का उपयोग करते हुए, मैट्रिक्स सिंबल अनुमानों और आइजनवैल्यू स्थितियों के माध्यम से इन गुणों को अभिलक्षणित करके, बंद मैनिफोल्ड्स (closed manifolds) पर दृढ़ रूप से अपरिवर्तनीय ऑपरेटरों और प्रणालियों की वैश्विक हाइपोएलिप्टिसिटी (global hypoellipticity) और समाधान क्षमता की जांच करता है।
यह शोध पत्र एक-आयामी द्वि-प्रजाति वाले व्लासोव-पॉइसन समीकरण के लिए यात्राशील आवधिक समाधानों के स्थानीय और वैश्विक द्विभाजन (बाइफरकेशन) को स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि गतिशील आयन और इलेक्ट्रॉन कैसे सुसंगत प्रावस्था-स्थान संरचनाएं बनाते हैं और दो-घटक यूलर-पॉइसन प्रणाली के साथ एक गणितीय संबंध को प्रकट करता है।
यह शोधपत्र युग्मित और विलगित गैर-स्थानीय प्रसार वाले समय-आवर्ती सहकारी प्रणालियों के लिए मुख्य स्पेक्ट्रल सिद्धांत और स्पर्शोन्मुखी व्यवहार को स्थापित करता है, जिसमें प्रणाली की वैश्विक गतिशीलता और पैरामीटर संवेदनशीलता को चरित्रित करने के लिए रिज़ॉलवेंट पॉजिटिव ऑपरेटर सिद्धांत और सुचारू सन्निकट मैट्रिक्स-मान वाले फलनों का उपयोग किया गया है।
यह शोध पत्र गेल्फ़ैंड-शिलोव स्थानों (Gelfand–Shilov spaces) के भीतर पर समय-आवर्ती विकास ऑपरेटरों (time-periodic evolution operators) से जुड़े विभेदक संकुलों (differential complexes) की वैश्विक समाधान क्षमता और हाइपोएलिप्टिसिटी (hypoellipticity) की जांच करता है, जो ऑपरेटर के गुणांकों और स्पेक्ट्रम से संबंधित एक डायोफेंटाइन स्थिति (Diophantine condition) के माध्यम से इन गुणों का अभिलक्षण प्रदान करता है।
यह शोध पत्र डिरिटले-प्रकार की सीमा स्थितियों के साथ डिफरेंशियल फॉर्म्स के लिए एक नई एलिप्टिक बिहारमोनिक स्टेकलव समस्या प्रस्तुत करता है और वैरायेशनल लक्षण वर्णन तथा कुटलर-सिगिलिटो-प्रकार के आइजनमान अनुमान स्थापित करता है जो इसके स्पेक्ट्रम को मैनिफोल्ड के वक्रता (curvature) से संबंधित करते हैं।
यह शोधपत्र एक नए - हार्नेक अनुमान (Harnack estimate) को प्रस्तुत करके मिश्रित शासन (mixed regime) में दोहरे गैर-रेखीय समीकरणों के गैर-ऋणात्मक समाधानों की स्थानीय होल्डर निरंतरता (local Hölder continuity) स्थापित करता है, जो सिंगुलर और डिजेनरेट दोनों मामलों को संभालता है।
यह शोध पत्र -शर्त का अनुमान लगाए बिना उच्च-क्रम के ऑरलिक-सोबोलेव स्थानों में एक सामान्य पॉलीहारमोनिक ऑपरेटर के लिए आइगेनमानों (eigenvalues) और आइगेनफंक्शंस (eigenfunctions) के एक अनंत अनुक्रम के अस्तित्व को सिद्ध करता है, साथ ही डी जॉर्गी इटरेशन योजना (De Giorgi iteration scheme) के माध्यम से आइगेनफंक्शंस के लिए एक नियमितता परिणाम भी स्थापित करता है।
यह शोध पत्र स्थानीय परिमितता (local boundedness), हार्नाक असमानताओं (Harnack inequalities) और होल्डर निरंतरता (Hölder continuity) को स्थापित करके नॉनलोकल पैराबोलिक डी जॉर्गी क्लास (nonlocal parabolic De Giorgi class) में फलनों की स्थानीय नियमितता की जांच करता है, अंततः एक लीउविल-प्रकार की कठोरता संपत्ति (Liouville-type rigidity property) को सिद्ध करता है और इन विधियों को नॉनलोकल ट्रुडिंजर समीकरण (nonlocal Trudinger equation) के लिए एक सटीक हार्नाक असमानता प्राप्त करने हेतु लागू करता है।
यह शोध पत्र दो-आयामी जल तरंगों में आवधिक केशिका-गुरुत्व तरंगों (periodic capillary-gravity waves) की स्पेक्ट्रल स्थिरता की जांच करता है, जो एक सूचकांक फलन (index function) पर आधारित स्थिरता मानदंड को व्युत्पन्न करता है और यह प्रदर्शित करता है कि फ्रोड संख्या (Froude number) और पृष्ठ तनाव मापदंडों से जुड़ी विशिष्ट स्थितियों के तहत पृष्ठ तनाव एक स्थिर प्रभाव डालता है।
यह शोधपत्र एक कनवल्शन-आधारित दबाव पद (convolution-based pressure term) का उपयोग करके 'ऑव-रास्कल-झांग' (Aw-Rascle-Zhang) ट्रैफ़िक मॉडल के एक नॉनलोकल विस्तार की जांच करता है और एंट्रॉपी समाधानों (entropy solutions) के अस्तित्व, अभिसरण और स्थिरता को स्थापित करने के लिए एक स्टिकी पार्टिकल सन्निकटन (sticky particle approximation) का उपयोग करता है।