2037 पेपर
यह शोध पत्र कैलडेरॉन-ज़िगमुंड-प्रकार के स्थानों (Calderón–Zygmund-type spaces) के लिए एक लगभग-सर्वत्र सुधार सिद्धांत (almost-everywhere improvement principle) स्थापित करता है, यह सिद्ध करते हुए कि यदि कोई फलन किसी समुच्चय में के माध्यम से समान बहुपद सन्निकटन दर (uniform polynomial approximation rates) प्रदर्शित करता है, तो वे दरें उस समुच्चय के लगभग हर बिंदु के लिए एक लुप्त होती कोटि (vanishing order) में सुधर जाती हैं।
यह शोध पत्र एक स्लैब (slab) पर परिभाषित ग्राफों के लिए मीन कर्वेचर फ्लो (mean curvature flow) के दीर्घकालिक समाधानों के अस्तित्व को सिद्ध करता है और ग्रिम रीपर (grim reaper), द्वि-आयामी ट्रांसलेटर्स (two-dimensional translators), तथा स्पर्शोन्मुखी बेलनाकार ट्रांसलेटर्स (asymptotically cylindrical translators) सहित कई प्रकार के उत्तल ग्राफिकल ट्रांसलेटर्स की गतिक स्थिरता (dynamical stability) स्थापित करता है।
यह शोध पत्र सेमीक्लासिकल सॉलिटॉन एन्सेम्बल्स (semiclassical soliton ensembles) के निर्माण के लिए एक WKB-शैली के दृष्टिकोण का उपयोग करके इंटरमीडिएट लॉन्ग वेव (ILW) समीकरण की लघु-विक्षेपण सीमा (small-dispersion limit) का कठोरता से विश्लेषण करता है, और यह सिद्ध करता है कि समाधान ग्रेडिएंट कैटास्ट्रोफी (gradient catastrophe) के समय तक इनविसिड बर्गर्स समीकरण (inviscid Burgers' equation) की ओर अभिसरित होता है।
यह शोध पत्र लेरे के सन्निकटन तकनीक (Leray's approximation technique) और विक्षोभ सिद्धांत (perturbation theory) का उपयोग करते हुए, लेरे-शॉडर फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय की सीमाओं को दूर करके, बड़े -प्रारंभिक डेटा वाले एमएचडी (MHD) समीकरणों के लिए दुर्बल समाधानों (weak solutions) के वैश्विक अस्तित्व और अद्वितीयता को स्थापित करता है।
यह शोधपत्र लैंडिस अनुमान (Landis conjecture) के एक हालिया दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, सीमित विभव (bounded potentials) वाले बंद रीमैन सतहों (closed Riemann surfaces) पर अर्धशास्त्रीय श्रोडिंगर ऑपरेटर (sem semiclassical Schrödinger operator) के आइजनफंक्शन्स (eigenfunctions) के स्थानिक संकेंद्रण (spatial concentration) के लिए एक नया, अधिक सटीक घातांकीय आबंध (exponential bound) स्थापित करता है, जो पिछले अनुमानों में सुधार करता है।
यह शोध पत्र भारित सोबोलेव स्थानों (weighted Sobolev spaces) में गैर-समांगी डिरिचलेट सीमा स्थितियों (non-homogeneous Dirichlet boundary conditions) के साथ द्वितीय-क्रम के डिजेनरेट हाइपरबोलिक समीकरणों के लिए दुर्बल समाधानों (weak solutions) के अस्तित्व, नियमितता और सुव्यवस्थितता (well-posedness) को स्थापित करता है, और अंततः इन परिणामों को डिजेनरेट तरंग समीकरणों के लिए एक अनुमानित नियंत्रणीयता मानदंड (approximate controllability criterion) प्राप्त करने के लिए लागू करता है।
यह शोध पत्र अनियमित डोमेन और अनबाउंडेड गुणांकों वाले स्थानीय और गैर-स्थानीय दीर्घवृत्तीय (elliptic) और परवलयिक (parabolic) सीमा मान समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए समाधान योग्यता, वैश्विक नियमितता और ए प्रियोरी अनुमान स्थापित करने हेतु एक एकीकृत गणितीय ढांचा प्रस्तुत करता है, जिसके अनुप्रयोग ऊष्मा स्थानांतरण, संभाव्यता सिद्धांत और विभिन्न वास्तविक दुनिया की भौतिक प्रक्रियाओं तक विस्तृत हैं।
यह शोध पत्र द्वारा संचालित जनरलाइज्ड फ्रैक्शनल सिंगुलर बर्गर्स (GFSB) समीकरण के लिए एक ढांचा स्थापित करता है, इसकी स्थानीय सु-समाधानता (local well-posedness) को सिद्ध करता है और यह प्रदर्शित करता है कि इसके समाधान मूल फ्रैक्शनल सिंगुलर बर्गर्स समीकरण के जनरलाइज्ड समाधानों के अनुरूप होते हैं जब हो।
यह शोध पत्र स्थानिक रूप से बढ़ते हुए गैर-रैखिकता (nonlinearity) वाले फोकसिंग इनहोमोजेनियस नॉनलीनियर श्रोडिंगर समीकरण के लिए सामान्यीकृत स्थिर तरंगों (normalized standing waves) के अस्तित्व और स्थिरता की जांच करता है, यह सिद्ध करते हुए कि ग्राउंड स्टेट्स -सबक्रिटिकल शासन (regime) में ऑर्बिटली स्थिर हैं, लेकिन -क्रिटिकल और सुपरक्रिटिकल शासन में परिमित-समय विस्फोट (finite-time blow-up) के माध्यम से दृढ़ता से अस्थिर हैं।
यह शोधपत्र कैफ़रेली-कोहन-निरेनिन असमानता (Caffarelli–Kohn–Nirenberg inequality) से व्युत्पन्न वेग क्षेत्र के एक भारित प्रवणता (weighted gradient) का उपयोग करके में असंपीड्य गैर-न्यूटनियन तरल पदार्थों के उपयुक्त दुर्बल समाधानों (suitable weak solutions) के लिए एक नियमितता मानदंड (regularity criterion) स्थापित करता है।