2051 पेपर
यह शोध पत्र दो-पैरामीटर हाइपरबोलिक रिलैक्सेशन सिस्टम के लिए तीन आयामों में इनकम्प्रेसिबल नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में तरल वेग और दबाव के समवर्ती अभिसरण को कठोरता से सिद्ध करता है, जो दो और तीन आयामों में लघु और प्रारंभिक वेग विक्षोभों के तहत वैश्विक-समय रिकवरी के तहत वेग अभिसरण विश्लेषण का विस्तार करता है।
यह शोधपत्र मार्टिनेट स्पेस (Martinet spaces) में विस्कोसिटी समाधानों (viscosity solutions) के गुणों को स्थापित करता है, जिनमें कार्नोट (Carnot) और ग्रुशिन-प्रकार (Grushin-type) के स्थानों जैसी बीजगणितीय और संरचनात्मक विशेषताएं नहीं होती हैं, और स्ट्रिक्टली मोनोटोन एलिप्टिक पी़डीई (strictly monotone elliptic PDEs) तथा इनफिनिट लैपलेस समीकरण (infinite Laplace equation) के लिए उनकी विशिष्टता को सिद्ध करता है।
यह शोधपत्र बोगोल्युबोव-प्रकार के पुनरावृत्तियों (recursions) को पेश करके हेयर के रेगुलैरिटी स्ट्रक्चर्स (regularity structures) के लिए पुनर्सामान्यीकरण ढांचे (renormalisation framework) को पुनर्गठित करता है, जो कोन्स-क्रेमर दृष्टिकोण के समान है, ताकि धनात्मक और ऋणात्मक पुनर्सामान्यीकरण के बीच के अंतर्संबंध को स्पष्ट किया जा सके और इसे विलक्षण स्टोकेस्टिक आंशिक अवकल समीकरणों (singular stochastic partial differential equations) पर लागू किया जा सके।
यह शोध पत्र कम-नियमितता वाले यादृच्छिकता (low-regularity randomness) वाले विसरणात्मक आंशिक अवकल समीकरणों (dispersive PDEs) के लिए फूरियर गुणांकों के वर्ग के प्रत्याशा (expectation) को अनुमानित करने हेतु विक के प्रमेय (Wick's theorem), फेनमैन आरेख (Feynman diagrams) और 'पेयर्ड डेकोरेटेड फॉरेस्ट्स' (paired decorated forests) नामक एक नई संयोजन संरचना पर आधारित संख्यात्मक योजनाओं की एक नवीन श्रेणी प्रस्तुत करता है, जो इष्टतम अनुनाद संरचनाओं (resonance structures) और नियमितता लाभों का लाभ उठाने के लिए स्वयं PDE के बजाय प्रत्याशा को विविक्त (discretize) करने के माध्यम से शास्त्रीय विधियों की तुलना में महत्वपूर्ण लाभ प्रदान करती है।
यह शोधपत्र एक अराजकता अपघटन (chaos decomposition) और एक सामान्यीकृत हेयरर-क्वास्टल अभिसरण प्रमेय का उपयोग करके सामान्यीकृत केपीजेड (KPZ) समीकरण के लिए बीएचजेड (BHZ) पुनर्सामान्यीकृत मॉडल के अभिसरण को स्थापित करता है, जिससे बीपीएचजेड (BPHZ) पुनर्सामान्यीकरण की पूर्ण शक्ति की आवश्यकता से बचा जा सकता है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि दोलित गुणांकों (oscillating coefficients) वाले सामान्यीकृत -गालियर्दो अर्ध-मानों (Gagliardo seminorms) का -सीमा, और दोलन पैमाने (oscillation scale) के अंतर्गत की स्थिति में, उस होमोजेनाइज्ड डिरिचलेट इंटीग्रल (homogenized Dirichlet integral) के समान है जो पहले करने और फिर परिणामी दोलित गुणांक को होमोजेनाइज करने से प्राप्त होता है।
यह शोधपत्र एक उपयुक्त -नॉर्म वाले विखराव अनुमानों (dispersive estimates) और चरण फलन (phase function) के सूक्ष्म विश्लेषण का उपयोग करते हुए, द्विघाती अरैखिकता (quadratic nonlinearity) और लघु, दुर्बल क्षय वाले प्रारंभिक डेटा वाले एक-आयामी अरैखिक क्लेन-गॉर्डन समीकरणों के लिए लगभग वैश्विक समाधानों की उपस्थिति स्थापित करता है।
यह शोध पत्र अदिश स्थान (scalar space) को सदिश-मान वाले (vector-valued) परिवेश तक विस्तारित करता है, इसके मौलिक गुणों को स्थापित करता है और एक निम्न अर्ध-सततता (lower semicontinuity) परिणाम सिद्ध करता है जो फ्रैक्चर मैकेनिक्स में परिवर्तनिक समस्याओं (variational problems) के लिए लगभग हर जगह अभिसारी न्यूनतम अनुक्रमों (almost everywhere convergent minimizing sequences) की उपस्थिति सुनिश्चित करता है।
यह शोधपत्र ओडीई (ODEs) और सिंगुलर एसपीडीई (singular SPDEs) में मल्टी-इंडेक्स कोप्रोडक्ट्स के लिए स्पष्ट सूत्र प्रस्तुत करता है, जो आसानी से गणना योग्य सिमेट्री फैक्टर्स के माध्यम से परिभाषित ड्यूल प्रोडक्ट्स के एडजॉइंट्स के रूप में उनके संबंध का लाभ उठाते हैं।
यह शोध पत्र मेट्रिक मेजर स्पेस (metric measure spaces) पर होल्डर नियमितता (Hölder regularity), कमजोर बाकरी-एमेरी गैर-ऋणात्मक वक्रता (weak Bakry-Émery non-negative curvature), और विभिन्न हीट कर्नेल अनुमानों के बीच तुल्यता स्थापित करता है, और इन परिणामों को सिएर्पिंस्की कार्पेट केबल सिस्टम (Sierpiński carpet cable system) पर सामान्यीकृत रिवर्स होल्डर असमानता से संबंधित एक खुले प्रश्न को हल करने के लिए लागू करता है, साथ ही शास्त्रीय ली-याऊ ग्रेडिएंट अनुमानों (Li-Yau gradient estimates) को दृढ़ पुनरावर्ती फ्रैक्टल जैसी संरचनाओं (strongly recurrent fractal-like structures) तक विस्तारित करता है।