1995 पेपर
यह लेख एआई मॉडल ग्रोक (Grok) के सहयोग से प्राप्त पांच सत्यापित गणितीय खोजों को प्रस्तुत करता है, जिनमें गॉसियन विड्थ्स (Gaussian widths) के लिए बेहतर सीमाएं, हैमिंग क्यूब (Hamming cube) पर अधिक सटीक मोमेंट असमानताएं, एक सुदृढ़ ऑटो-कन्वोल्यूशन असमानता, -सिडोन (g-Sidon) सेट्स के लिए बेहतर एसिम्प्टोटिक बाउंड्स, और एक इष्टतम संतुलित शरेक (Szarek) असमानता शामिल हैं।
यह शोध पत्र शून्य -माध्य वक्रता (s-mean curvature) और स्थानीय रूप से परिमित परिधि (locally finite perimeter) वाले मापने योग्य समुच्चयों के लिए सतह घनत्व अनुमान स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि ये अनुमान ऐसे समुच्चयों की सीमाओं पर भिन्नात्मक सोबोलेव असमानता (fractional Sobolev inequality) की वैधता को सिद्ध करते हैं।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि स्केल किए गए रॉबिन सीमा स्थितियों (Robin boundary conditions) वाले एक आवर्ती छिद्रित डोमेन (periodically perforated domain) में, एक विशिष्ट शासन (regime) एक होमोजेनाइज्ड लाप्लास समीकरण को उत्पन्न करता है जिसमें एक स्टेक्लोव-प्रकार (Steklov-type) की स्पेक्ट्रल समस्या से व्युत्पन्न एक गैररेखीय शून्य-क्रम पद (nonlinear zeroth-order term) होता है, जो न्यूमैन और डिरिचलेट सीमाओं के बीच निरंतर इंटरपोलेशन करता है और मजबूत-कपलिंग सीमा (strong-coupling limit) में शास्त्रीय कैपेसिटरी स्ट्रेंज टर्म (capacitary strange term) को पुनः प्राप्त करता है।
यह शोध पत्र एक संयुक्त क्रिटिकल पैकेट एनवेलप (critical packet envelope) को प्रस्तुत करके बड़े प्रारंभिक डेटा वाले पूर्ण त्रि-आयामी इनकंप्रेसिबल नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के लिए वैश्विक नियमितता स्थापित करता है और यह सिद्ध करता है कि किसी भी संभावित थ्रेशोल्ड उल्लंघन से या तो एक विचलित त्रुटि (perturbative error) या कम स्कोर वाला एक वंशज पैकेट (descendant packet) प्राप्त होगा, जिससे भाग I के अक्षीय सममित (axisymmetric) परिणामों के पूरक के रूप में एक प्रत्यक्ष प्रथम-थ्रेशोल्ड निरंतरता तर्क के माध्यम से ब्लो-अप को रोका जा सके।
यह शोध पत्र लिफ्टेड वेरिएबल्स (lifted variables), पांच-आयामी दृश्यता (five-dimensional visibility) और एक तीन-भाग वाले मात्रात्मक तर्क का उपयोग करते हुए यह प्रदर्शित करके, स्वर्ल (swirl) वाले बड़े-डेटा अक्षीय सममित नेवियर-स्टोक्स प्रवाह (axisymmetric Navier–Stokes flows) के लिए वैश्विक नियमितता का पहला प्रत्यक्ष प्रमाण स्थापित करता है कि एक क्रिटिकल एक्सिस स्कोर एनवेलप (critical axis score envelope) प्रथम-थ्रेशोल्ड समय तक नहीं पहुँच सकता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि सभी संभावित विलक्षणता तंत्र (singularity mechanisms) या तो छोटे वंशज उत्पन्न करते हैं या विचलितकारी (perturbative) होते हैं।
यह शोधपत्र यह स्थापित करता है कि (2+1)-आयामी मोंकौस्की (Minkowski) स्पेस के रेडियली सिमेट्रिक स्टेशनरी परटर्बेशन्स पर लीनियर वेव इक्वेशन के समाधान के रूप में क्षय होने वाले लेट-टाइम टेल्स (late-time tails) प्रदर्शित करते हैं, जो -वेटेड एनर्जी एस्टीमेट्स का विस्तार करके और श्वास्र्चिल्ड (Schwarzschild) स्पेसटाइम पर पूर्ववर्ती कार्यों की फिजिकल स्पेस तकनीकों को अनुकूलित करके प्राप्त किया गया है।
यह शोध पत्र लघु-द्रव्यमान शासन (small-mass regime) में कोशिका ध्रुवीकरण (cell polarization) को मॉडल करने वाली एक द्रव्यमान-प्रतिबंधित मुक्त सीमा समस्या (mass-constrained free boundary problem) की जांच करता है, जो यह सिद्ध करता है कि गैर-अपभ्रंश उच्चतम मानों (nondegenerate maxima) वाले संकेतों के लिए, समाधान एक बाधा समस्या (obstacle problem) की ओर अभिसरित होता है जिसका इंटरफ़ेस स्पष्ट रूप से एक दीर्घवृत्त (ellipse) के रूप में अभिलक्षित है, और साथ ही अपभ्रंश उच्चतम मानों (degenerate maxima) वाले मामलों का भी विश्लेषण करता है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि जैसे-जैसे स्टीन वेरिएशनल ग्रेडिएंट डिसेंट (SVGD) में कर्नेल बैंडविड्थ शून्य की ओर अग्रसर होती है, गैर-स्थानीय कण गतिकी (nonlocal particle dynamics), द्विघाती गतिशीलता (quadratic mobility) वाले एक स्थानीय वासरस्टीन ग्रेडिएंट फ्लो (Wasserstein gradient flow) में अभिसरित होती है, जो समाकलनीय (integrable) और भारित (weighted) दोनों कर्नेल के लिए स्थापित एक परिणाम है, जिसमें बाद वाला स्टीन-लॉग-सोबोलेव (Stein-log-Sobolev) असमानताओं पर निर्भर करता है।
यह शोधपत्र घातांकीय अरैखिकता (exponential nonlinearity) वाले मिश्रित स्थानीय-गैरस्थानीय ऑपरेटर द्वारा संचालित एक ऊष्मा समीकरण के कॉची समस्या (Cauchy problem) की जांच करता है, जो ऑरलिस स्थानों (Orlicz spaces) में स्थानीय सु-समाधान (local well-posedness) स्थापित करता है, लघु प्रारंभिक डेटा के लिए वैश्विक अस्तित्व सिद्ध करता है, और बड़े समय के क्षय अनुमान प्राप्त करता है जो यह प्रकट करते हैं कि मूल बिंदु के पास अरैखिकता का व्यवहार स्थानीय और गैरस्थानीय विसरण के बीच कैसे आनुमानिक संक्रमण को नियंत्रित करता है।
यह शोध पत्र यूक्लिडियन प्लेन में चिकने, परिबद्ध डोमेन पर ट्रुडिंजर-मोसेर असमानता के लिए मात्रात्मक स्थिरता अनुमान स्थापित करता है, जो यह सिद्ध करता है कि असमानता का घाटा (deficit), कम घातीय वृद्धि, गोल डिस्क (क्रिटिकल केस सहित), और सामान्य गैर-विकृत परिदृश्यों के मामलों में, एक नव-सिद्ध स्पेक्ट्रल गैप से व्युत्पन्न, ऑप्टिमाइजर्स से दूरी को द्विघात रूप से नियंत्रित करता है।