1766 पेपर
यह शोध पत्र चक्रीय कवरेज (cyclic coverings) के mod मोनोड्रोमी पर पिछले परिणामों का उपयोग करके पर और समूहों वाले गैलुआ विस्तारों (Galois extensions) की पहली पूर्णतः स्पष्ट अनंत श्रृंखला का निर्माण करता है, जो एक साथ मनमाने रूप से बड़े डिग्री वाले हैं और तथा से भिन्न हैं।
यह शोध पत्र आव्यूहों (matrices) पर स्थिरांकों वाले बहुपद मानचित्रों (polynomial maps) के पिछले परिणामों को और आव्यूहों तक विस्तारित करता है, जो आव्यूह के आकार , घातांक , और की नलिटी (nullity) के संदर्भ में (जहाँ व्युत्क्रमणीय है) के रूप वाले मानचित्रों की अधिरोपणता (surjectivity) के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करता है।
यह शोध पत्र 1,072 स्पष्ट मास्टर-टुपल फाइबर्स (master-tuple fibers) के लिए परफेक्ट-क्यूबॉइड अनुमान (perfect-cuboid conjecture) का एक बिना शर्त प्रमाण प्रदान करता है, यह स्थापित करते हुए कि प्रत्येक प्रिमिटिव यूलर-ब्रिक (primitive Euler-brick) एक मानक पैरामीट्राइजेशन से उत्पन्न होता है और यह प्रदर्शित करते हुए कि, सत्यापित रैंक-शून्य स्थितियों के तहत, संबंधित एलिप्टिक कर्व्स में केवल डिजेनरेट परिमेय बिंदु (degenerate rational points) होते हैं।
यह शोध पत्र और पर गैर-व्युत्क्रमणीय (non-invertible) -adic गतिक प्रणालियों में स्ट्रॉन्ग शैडोइंग और स्थिरता के लिए पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करता है, विशेष रूप से उन मानचित्रों के लिए जो संकुचन (contractions) के माध्यम से दायां-व्युत्क्रमणीय (right-invertible) हैं या जो बाएं-व्युत्क्रमणीय संकुचन हैं, जिससे शून्य-आयामी गैर-व्युत्क्रमणीय गतिकी (zero-dimensional non-invertible dynamics) तक स्थिरता सिद्धांत का विस्तार होता है।
यह शोध पत्र सर्कल विधि को परिष्कृत करने के लिए एक नवीन द्वि-आयामी डेल्टा प्रतीक पद्धति प्रस्तुत करता है, जो दो द्विघात रूपों (quadratic forms) के गैर-विलक्षण प्रतिच्छेदों पर पूर्णांक बिंदुओं के लिए एक अनंतस्पर्शी सूत्र (asymptotic formula) को सफलतापूर्वक स्थापित करता है जिसमें कम से कम 10 चर हैं (सामान्यीकृत लिंडेलोफ परिकल्पना के तहत 9 तक सुलभ) और हीथ-ब्राउन द्वारा उठाए गए एक प्रश्न का समाधान करता है।
यह शोध पत्र धनात्मक फूरियर गुणांकों वाले त्रिकोणमितीय बहुपदों के लिए सौंदरा राजन के ओमेगा परिणामों में सुधार करता है, जिसमें डिरिचलेट डिवीज़र और गॉस सर्कल जैसी लैटिस पॉइंट समस्याओं में बेहतर चरम परिणाम प्राप्त करने के लिए एक योगात्मक उपकरण के रूप में रेजोनेंस पद्धति का उपयोग किया गया है, साथ ही यह दृष्टिकोण को जटिल गुणांकों तक विस्तारित करता है और इसे बोहर और जेसन के क्रोनेकर प्रमेय के प्रमाण से जोड़ता है।
यह शोध पत्र केडलया की उस परिकल्पना को गलत सिद्ध करता है कि स्थानीय रूप से विश्लेषणात्मक सदिश (locally analytic vectors), अनिश्चित रूप से रामिफाइड -आदिक ली विस्तारों (infinitely ramified -adic Lie extensions) के लिए -मॉड्यूल का एक सामान्यीकरण प्रदान करते हैं, क्योंकि यह प्रदर्शित करता है कि, एंटीसाइक्लोटोमिक -विस्तार सेटिंग में, फील्ड ऑफ नॉर्म्स (field of norms) के ओवरकन्वर्जेंट लिफ्ट (overconvergent lift) की आवश्यक उपस्थिति विफल हो जाती है, जिससे प्रासंगिक पीरियड रिंग्स (period rings) में गैर-तुच्छ स्थानीय रूप से विश्लेषणात्मक सदिशों का अस्तित्व बाधित हो जाता है।
यह शोधपत्र रीमान ज़ेटा-फंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य (nontrivial zeros) के कोटियों (ordinates) पर घातांकीय योगों (exponential sums) के लिए सप्रतिबंध (conditional) और असप्रतिबंध (unconditional) अनंतस्पर्शी सूत्र (asymptotic formulae) प्रस्तुत करता है, जो इन कोटियों के लिए लिंडेलोफ़ परिकल्पना (Lindelöf Hypothesis) से निकटता से संबंधित परिणाम स्थापित करता है।
यह शोध पत्र एक प्राकृतिक संख्या के स्टॉर्मर संख्या (Størmer number) होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करता है—जिसे वाले अभाज्य संख्याओं के लिए के लघुतम अवशेष समाधान के लघुतम मान के रूप में परिभाषित किया गया है—जबकि साथ ही ग्रेगरी संख्याओं और के उच्च-परिशुद्धता सन्निकटन से जोड़ने वाले कार्ल स्टॉर्मर के ऐतिहासिक कार्य का भी अन्वेषण करता है।
यह शोधपत्र उन एबेलियन समूहों के पूर्ण सेट को निर्धारित करता है जो सात की डिग्री वाले संख्या क्षेत्रों (number fields) पर अनंत एलिप्टिक कर्व्स के लिए टॉर्शन सबग्रुप्स के रूप में आते हैं।