1766 पेपर
यह शोधपत्र ज्यामितीय बहुपदों के अनंत व्यवहार (asymptotic behavior), शून्य वितरण (zero distribution) और ऑर्थोगोनैलिटी गुणों की जांच करता है, जिसके निष्कर्ष उनके अंतर्निहित संबंध के कारण यूलर बहुपदों पर सीधे लागू होते हैं।
यह शोध पत्र लेजेंड्रे बहुपदों (Legendre polynomials) से इन योगों को जोड़ने वाली एक पहचान का लाभ उठाते हुए और उनसे संबंधित फलनों के समाकलों (integrals) से संबंधित परिणामों का उपयोग करते हुए, विभिन्न संयोजन योगों (combinatorial sums) के लिए बंद-रूप अभिव्यक्तियों (closed-form expressions) को व्युत्पन्न करता है।
यह शोध पत्र विभिन्न ज्यामितीय स्थितियों के तहत रू-वोयटा प्रमेय (Ru-Vojta theorem) और हुआंग-लेविन-शियाओ (Huang-Levin-Xiao) असमानताओं के उच्च-आयामी सामान्यीकरण का उपयोग करके प्रक्षेपिक विविधताओं (projective varieties) पर पूर्णांक बिंदुओं के वितरण की जांच करके, यूनिट समीकरणों के परिवारों के लिए अपभ्रंशता (degeneracy) परिणाम स्थापित करता है और घातांकीय डायोफेंटाइन समीकरणों (exponential Diophantine equations) तथा -एडिक अंक वितरण (q-adic digit distributions) पर नए निष्कर्ष निकालता है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि एक संख्यात्मक अर्धसमूह (numerical semigroup) के पावर अर्धसमूह (power semigroup) और उप-मोनोइड (submonoid) दोनों के ऑटोमॉर्फिज्म समूह (automorphism groups) तुच्छ (trivial) हैं, जो यह दर्शाता है कि इन संरचनाओं के लिए एकमात्र ऑटोमॉर्फिज्म तत्समक मानचित्र (identity map) ही है।
यह शोध पत्र विशेष रूप से बेसेल मॉडलों (Bessel models) में विशिष्ट परीक्षण फलनों (test functions) के लिए स्थानीय ज़ेटा-समाकलों (local zeta-integrals) के सटीक मूल्यांकनों को व्युत्पन्न करके, वर्ग-मुक्त स्तरों (square-free levels) के वेक्टर-मान वाले सीगल कस्प फॉर्म्स (Siegel cusp forms) के लिए एडेलों (adeles) पर रैनकिन-सेल्बर्ग इंटीग्रल (Rankin-Selberg integral) की स्पष्ट गणना करता है।
यह शोध पत्र एक विशिष्ट जनरेटिंग सेट वाले वर्चुअली निलपोटेंट समूह का पहला उदाहरण प्रस्तुत करता जिसकी ग्रीन (कोग्रोथ) श्रृंखला D-फाइनाइट नहीं है, यह परिणाम एक अंकगणितीय चमत्कार और एक व्युत्पन्न गुणात्मक अनुक्रम की सबवर्ड जटिलता के विश्लेषण के माध्यम से स्थापित किया गया है।
यह शोध पत्र धनात्मक अभिलक्षण (positive characteristic) में उनके ऑटोमोर्फिज्म समूहों को स्पष्ट रूप से वर्गीकृत करके, उनके परिवारों को पैरामीट्राइज़ करके, और इन प्रतिच्छेदों के आयाम और अपरिमेय घटकों की गणना करने के लिए एक एल्गोरिदम विकसित करके, जनस दो वक्रों (genus two curves) के मोड्युली स्पेस के भीतर ऑटोमोर्फिज्म स्ट्रेटा और एकेडल-ओर्ट स्ट्रेटा के बीच के प्रतिच्छेदन की जांच करता है।
यह शोध पत्र और के बीच अपवादस्वरूप थीटा पत्राचार (exceptional theta correspondence) के लिए हाउ द्वैतता (Howe duality) को संबंधित निरूपणों के -प्रकारों (K-types) को जोड़ने के लिए सी-सॉ पहचानों (see-saw identities) का उपयोग करके स्थापित करता है।
यह शोध पत्र ज्ञात निम्न-माहलर-माप (low-Mahler-measure) उदाहरणों का विश्लेषण करके यह जांच करता है कि कौन से पूर्णांक बहुपद न्यूमैन बहुपदों को विभाजित करते हैं, उन विशिष्ट बहुपदों की पहचान करता है जो किसी को भी विभाजित नहीं करते हैं (इस प्रकार एक संभावित सार्वभौमिक स्थिरांक के लिए ऊपरी सीमा में सुधार करते हैं), और विशिष्ट डिग्री सीमाओं के भीतर न्यूमन बहुपद को विभाजित करने वाली लेहमर के बहुपद की अधिकतम घात निर्धारित करता है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि उप--एडिक क्षेत्रों (sub--adic fields) पर प्रारंभिक एनाबेलियन किस्मों (elementary anabelian varieties) के बीच समाकारिता (isomorphisms) और प्रभावी मानचित्र (dominant maps), उनके मौलिक समूहों (fundamental groups) के विशिष्ट होमॉमॉर्फिज्म (homomorphisms) के साथ एक-से-एक पत्राचार (bijective correspondence) में हैं, जिससे ग्रोटेंडिएक (Grothendieck) के प्रमुख अनुमानों की पुष्टि होती है और इन परिणामों के एटाले होमोटोपिकल सामान्यीकरण (étale homotopical generalizations) स्थापित होते हैं।