1766 पेपर
यह शोध पत्र "गैर-रैखिक" (non-linear) डिटरमिनेंटल इंटीग्रल निरूपणों पर आधारित मल्टीपल ज़ेटा मानों के लिए एक नया ज्यामितीय ढांचा प्रस्तावित करता है, जो उन्हें उष्णकटिबंधीय ज्यामिति (tropical geometry), फेनमैन इंटीग्रल्स और द्विघाती रूपों के न्यूनीकरण सिद्धांत जैसे विविध क्षेत्रों से जोड़ता है।
यह शोध पत्र डायनेमिकल सिस्टम थ्योरी और कठोर संख्यात्मक विधियों को जोड़कर लाग्रेंज और मार्कोव स्पेक्ट्रा के लिए आयामी फलन के ग्राफ की जांच करता है ताकि बारह गैर-तुच्छ पठारों (plateaux) की पहचान की जा सके और उनके बीच फलन के व्यवहार का अनुमान लगाया जा सके, और अंततः यह सिद्ध किया जा सके कि दस सबसे बड़े गैर-तुच्छ पठार 0.005 से अधिक लंबाई वाले अंतरालों के अनुरूप हैं।
यह शोध पत्र तृतीय-क्रम पुनरावृत्ति अनुक्रमों (third-order recurrence sequences) का उपयोग करके जटिल त्रिघात संख्या क्षेत्रों (complex cubic number fields) की -तर्कसंगतता (p-rationality) निर्धारित करने के लिए एक नया मानदंड स्थापित करता है, दृष्टांत उदाहरणों का निर्माण करता है, और ग्रीनबर्ग के सामान्यीकृत अनुमान (Greenberg's Generalized Conjecture) को संतुष्ट करने वाले स्पष्ट क्षेत्रों की पहचान करने के लिए सामान्यीकृत $abcp$-तर्कसंगतता के बीच संबंध का अन्वेषण करता है।
यह शोध पत्र रैनकिन-सेल्बर्ग -फंक्शन्स के लिए साउंडारराजन के कमजोर सबकॉन्वेक्सिटी बाउंड को परिष्कृत करके पर स्पेक्ट्रली नॉर्मलाइज्ड होलोमॉर्फिक न्यूफॉर्म्स के सहसंबंध (correlation) और डिकोरिलेशन (decorrelation) के लिए समान सीमाएं (uniform bounds) स्थापित करता है, जिससे क्वांटम यूनिक इरगोडिसिटीिटी का एक प्रभावी होलोमॉर्फिक संस्करण प्रदान होता है और मौजूदा डिकोरिलेशन परिणामों में सुधार होता है।
यह शोधपत्र यह प्रदर्शित करके लोफ़्लर (Loeffler) के एक अनुमान (conjecture) को हल करता है कि मॉड्यूलर रूपों के मोटिविक रैनकिन-सेल्बर्ग यूलर सिस्टम (motivic Rankin-Selberg Euler system) में स्थानीय यूलर कारक (local Euler factors) अभिन्न रूप से इष्टतम (integrally optimal) हैं, जिसमें इस बात का विश्लेषण किया गया है कि रैनकिन-सेल्बर्ग आवर्त (Rankin-Selberg periods) गोलाकार व्हिटाकर निरूपणों (spherical Whittaker representations) के अभिन्न संरचनाओं के साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं।
यह शोध पत्र परिमित निरंतर भिन्नों (finite continued fractions) से जुड़े सीमित-प्रकार के फ्रैक्टल समुच्चयों के -मोटाई (thickness) के आकार के लिए स्पर्शोन्मुख अनुमान (asymptotic estimates) प्रस्तुत करता है, जो ज़रेम्बा की परिकल्पना (Zaremba's conjecture) पर एक औसत परिप्रेक्ष्य प्रदान करता है और इन परिणामों को काल्पनिक द्विघातीय क्षेत्रों (imaginary quadratic fields) पर जटिल निरंतर भिन्नों तक विस्तारित करता है।
यह शोधपत्र दो की डिग्री और बड़े भार वाले होलोमोर्फिक सीगल कस्प फॉर्म्स (holomorphic Siegel cusp forms) के स्पिनर और मानक -फंक्शन्स से जुड़े एक मोमेंट (moment) के लिए एक एसिम्प्टोटिक सूत्र स्थापित करता है, जिसे फिर एक साथ गैर-शून्यता (non-vanishing) के परिणामों को सिद्ध करने और द्वितीय मोमेंट्स के लिए निचली सीमाएं प्राप्त करने के लिए लागू किया जाता है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि जहाँ शास्त्रीय गोलाकार कैप (spherical cap) विसंगति (discrepancy) पर एक "आयाम का आशीर्वाद" (blessing of dimensionality) प्रदर्शित करती है, वहीं एक प्रस्तावित बड़े-कैप संस्करण (large-cap variant) इस घटना से बचता है और इसके बजाय संबद्ध सोबोलेव स्थान (Sobolev space) में संबंधित वर्स्ट-केस एकीकरण त्रुटियों (worst-case integration errors) की ओर ले जाता है, जो एक नए स्टोलार्स्की अमान्य सिद्धांत (Stolarsky invariance principle) के माध्यम से स्थापित किया गया परिणाम है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि विषम अभाज्य घात वाले परिमित क्षेत्र में इस शर्त के तहत, जहाँ है, क्रमिक तत्व मौजूद होते हैं जो दोनों ही गैर-वर्ग और गैर-आदिम (या गैर-वर्ग और --घात) हैं, जिससे कुछ विशिष्ट अपवादों के साथ केवल कुछ ही सीमित अपवादों के लिए अभाज्य क्षेत्रों के पिछले परिणामों को एक व्यापक वर्ग के परिमित क्षेत्रों तक विस्तारित किया गया है।
यह शोध पत्र उन स्थितियों की जांच करता है जिनके अंतर्गत उन अभाज्य संख्याओं के लिए घनत्व स्थिरांक (density constant) धनात्मक होता है जहाँ एक दीर्घवृत्तीय वक्र (elliptic curve) के बिंदुओं के समूह का लघुतम अपरिवर्तनीय कारक (smallest invariant factor) एक विशिष्ट पूर्णांक के बराबर होता है, जिसमें एक समूह-सैद्धांतिक मानदंड स्थापित करने के लिए एडेलिक गैलुआ प्रतिनिधित्वों (adelic Galois representations) का उपयोग किया गया है और यह पहचाना गया है कि यह स्थिरांक ठीक तभी शून्य होता है जब वक्र के एबेलियन विभाजन क्षेत्रों (abelian division fields) के मध्य संयोग (coincidences) घटित होते हैं।