1766 पेपर
यह शोध पत्र उत्तल डोमेन (convex domains) के लिए एक -अपरिवर्तनीय (invariant) ट्रॉपिकल ज़ेटा फलन को परिभाषित करता है, और यह सिद्ध करता है कि आयाम 2 में कड़ाई से उत्तल डोमेन के लिए, यह पर एक सरल ध्रुव (simple pole) के साथ मेरोमॉर्फिक रूप से विस्तारित होता है जिसका अवशेष (residue) इक्वीएफाइन परिधि (equiaffine perimeter) के समानुपाती है, जिससे वेव-फ्रंट लैटिस परिधि के लिए का एसिम्प्टोटिक (asymptotic) प्राप्त होता है।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि तामागावा संख्याओं (Tamagawa numbers) का उपयोग करके एलिप्टिक कर्व्स की धनात्मक रैंक (positive rank) की भविष्यवाणी करने के लिए डॉकचिट्सर, वियर्समा और इवांस द्वारा विकसित हालिया विधि, पैरिटी अनुमान (parity conjectures) दृष्टिकोण का एक उपसमुच्चय है, जो ब्रौअर संबंधों (Brauer relations) को K-संबंधों (K-relations) तक विस्तारित करके और तामागावा संख्याओं एवं स्थानीय रूट संख्याओं (local root numbers) के बीच अनुकूलता सिद्ध करके स्थापित किया गया एक परिणाम है।
डिरिचलेट एल-फंक्शन्स (Dirichlet -functions) के लिए पेट्रो-यंग उप-कन्वेक्सिटी बाउंड (Petrow–Young subconvexity bound) का लाभ उठाते हुए, यह शोध पत्र एक अभाज्य अवशेष वर्ग (prime residue class) के विरुद्ध औसत लेते समय, अभाज्य अंकगणितीय प्रगति (prime arithmetic progressions) में भाजक फलन के वितरण के घातांक को से सुधारकर करता है।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि बूहेर और कैस द्वारा स्थापित साधारण वक्रों (ordinary curves) के आर्टिन-शायरर आवरणों (Artin-Schreier covers) के न्यूनतम -संख्याओं के निचले स्तर (lower bound) के लिए, से विभाज्य न होने वाले घात वाले बहुपदों द्वारा परिभाषित ऐसे आवरणों के एक जेनेरिक वर्ग के लिए -संख्याओं की स्पष्ट गणना करके, वह सीमा सटीक (tight) है।
यह शोध पत्र इवाहोरी-हेके मॉडल का उपयोग करके के लिए यूनिवर्सल मॉड्यूल के प्रो--इवाहोरी इनवेरिएंट्स का एक स्पष्ट विवरण प्रदान करता है, संबद्ध हेके बीजगणक (Hecke algebra) की क्रिया को निर्धारित करता है, और इन परिणामों का उपयोग करके को फंक्टोरियली पुन: प्राप्त करता है तथा के टोटली रैमिफाइड विस्तारों (totally ramified extensions) के लिए ओलिवियर के प्रमेय का विस्तार करता है।
यह शोध पत्र मेलिन इंटीग्रल्स (Mellin integrals) के रूप में व्यक्त अवधियों (periods) के लिए एक उच्च-आयामी अपरिमेयता मानदंड स्थापित करता है, जिसमें उनके एकीकरण डोमेन (integration domains) के बहु-चर ट्रांसफाइनाइट व्यास (multi-variate transfinite diameter) पर एक ऊपरी सीमा व्युत्पन्न की गई है, एक ऐसी विधि जिसे के मोडुली स्पेस (moduli space) पर 5-पैरामीटर परिवार के इंटीग्रल्स का उपयोग करके की अपरिमेयता के एक नए प्रमाण के माध्यम से प्रदर्शित किया गया है।
सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना (Generalized Riemann Hypothesis) को मानते हुए, यह शोध पत्र उन वैश्विक अभाज्य बिंदुओं (globally primitive points) के उदाहरणों की जांच और निर्माण करता है जो किसी भी अभाज्य संख्या के अंतर्गत अपने न्यूनीकरण (reduction) के बिंदु समूहों (point groups) को उत्पन्न करने में विफल रहते हैं, एक ऐसी घटना जिसे एक संबद्ध गैलुआ प्रतिनिधित्व (Galois representation) के माध्यम से समझाया गया है।
सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना (generalized Riemann hypothesis) के अधीन, यह शोध पत्र लगभग सभी अभाज्य संख्याओं के लिए, यदि अंतर्निहित शोट्की उपसमूह (Schottky subgroup) का सीमा सेट (limit set) पर्याप्त रूप से सघन (thick) हो, तो अंकगणितीय शोट्की सतहों के हेके कॉंग्रुएंस आवरणों (Hecke congruence covers) पर लाप्लासियन के लिए एक समान और स्पष्ट स्पेक्ट्रल गैप स्थापित करता है।
यह शोध पत्र एक प्रत्यक्ष कॉम्बिनेटोरियल (संयोजन संबंधी) प्रमाण प्रस्तुत करता है, जो पिछले बंधों (bounds) में सुधार करता है और फूरियर विश्लेषण एवं फ्रीमैन के प्रमेय से बचता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि पर परिमित-आयामी सदिश स्थानों में सघन ट्रांसवर्स सेट (dense transverse sets), सीमित को-डायमेंशन वाले द्विरेखीय किस्मों (bilinear varieties) को समाहित करते हैं।
यह शोध पत्र में सिंगुलर मॉड्युली (singular moduli) की घातों के रैखिक संयोजनों के लिए समान और प्रभावी आंद्रे-ओर्ट-प्रकार (André–Oort-type) के बंध (bounds) स्थापित करता है, और तीन सिंगुलर मॉड्युली के एक परिमेय संख्या के योग वाले विशिष्ट मामले के लिए एक पूर्ण बिना शर्त वर्गीकरण प्रदान करता है।