1769 पेपर
यह शोध पत्र उच्च स्तर के मॉड्यूलर रूपों से गैर-शून्य स्तर 1 कस्प फॉर्म (cusp forms) का निर्माण करके, ट्विस्टेड डिवाइज़र फलनों (twisted divisor functions) के कॉन्वोल्यूशन सम्स (convolution sums) के रूप में रामानुजन के ताऊ फलन (tau function) को व्यक्त करने वाली पहचानों के एक अनंत परिवार को प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र सह-अभाज्य बाधाओं (coprime constraints) वाले विषम (inhomogeneous) भिन्नों द्वारा अनुमानित वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के फूरियर आयाम (Fourier dimension) को निर्धारित करता है, जिससे कॉफमैन और ब्लूम के शास्त्रीय परिणामों का एक पूर्ण विषम सामान्यीकरण प्राप्त होता है और चेन एवं शियोंग के अनुमान के सह-अभाज्य निरूपण को हल किया जाता है।
यह शोध पत्र डेप्थ-टू चाबॉटी-कोलमैन-किम विधि (Chabauty–Coleman–Kim method) में प्रयुक्त सामान्यीकृत -adic हाइट पेयरिंग के डोमेन और कंप्यूटेबिलिटी की जांच बीलिन्सन-ब्लॉक अनुमानों (Beilinson–Bloch conjectures) से जोड़कर करता है और यह प्रदर्शित करता है कि यदि का अल्बनेसे कर्नेल (Albanese kernel) टोरशन है, तो जैकोबियन के परिमेय बिंदुओं पर इस पेयरिंग की गणना करने के लिए एक एल्गोरिदम मौजूद है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि बड़े के लिए, भार के दुर्बल हीके आइगनफॉर्म्स (weak Hecke eigenforms) से जुड़े हीके बहुपदों (Hecke polynomials) के सरल शून्य के अंतराल में सीमित हैं, जो मास-पोइनकारेरी श्रृंखलाओं (Maass-Poincaré series) और व्हिटेकर/बेसेल बाउंड्स (Whittaker/Bessel bounds) से जुड़े एक विश्लेषण के माध्यम से हार्मोनिक मास फॉर्म्स (harmonic Maass forms) पर शास्त्रीय परिणामों को होलोमॉर्फिक फॉर्म्स (holomorphic forms) से विस्तारित करता है।
यह शोध पत्र वृत्त पर अपरिमेय घूर्णनों (irrational rotations) के लिए बिर्फ़कोफ़ मापों (Birkhoff measures) के वितरण की जांच करता है, इन मापों की समर्थन लंबाई (support length) और विसंगति (discrepancy) के बीच एक संबंध स्थापित करता है, उनके ग्राफ को निरंतर भिन्न विभाजकों (continued fraction denominators) पर एक अनुमानित समद्विबाहु समलंब (approximate isosceles trapezoid) के रूप में अभिलक्षित करता है, और शास्त्रीय परिणामों के लिए नए प्रमाण प्रदान करता है जो बिर्फ़कोफ़ योगों (Birkhoff sums) और विसंगतियों की कुशल गणना को सक्षम बनाते हैं।
यह शोध पत्र व्यापक श्रेणियों के मोटिव्स (motives) और गैलुआ रिप्रेजेंटेशन्स (Galois representations) के लिए एक तुल्य -adic पीरियड मैप को परिभाषित करके, चाबौटी-किम विधि (Chabauty–Kim method) को सामान्य हाइपरबोलिक कर्व्स तक विस्तारित करने के लिए एक आधारभूत ढांचा स्थापित करता है, जिससे -adic इटरेटेड इंटीग्रल्स (iterated integrals) को गोनचारोव के मोटिविक सिद्धांत (Goncharov's motivic theory) से जोड़ा जा सके और सिनटोमिक रेगुलेटर्स (syntomic regulators) का मूल्यांकन सक्षम हो सके।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि गुणात्मक रूप से स्वतंत्र आधारों द्वारा भारित बहुआयामी स्वचालित सरणियों (multidimensional automatic arrays) द्वारा परिभाषित वास्तविक संख्याएँ या तो परिमेय होती हैं या अपरिमेय (transcendental), जिससे संयोजन संबंधी गुणों और श्मिट के सबस्पेस प्रमेय (Schmidt's Subspace Theorem) का उपयोग करते हुए बहुआयामी सेटिंग में एडमचेव्स्की और बुगेऑड के पिछले परिणाम का विस्तार किया गया है।
यह शोध पत्र अनप्रतिबंधित विभाजनों (unrestricted partitions) और ओवरपार्टिशन्स (overpartitions) के भीतर लुप्त धनात्मक पूर्णांकों के सेट की जांच करता है, जिसमें ऐसे पूर्णांकों की एक विशिष्ट संख्या वाले विभाजनों की संख्या निर्धारित की गई है, संबद्ध फलनों (functions) के लिए सर्वांगसमताओं (congruences) को स्थापित किया गया है, और तीन बायस-प्रकार की असमानता संबंधी अनुमानों (bias-type inequality conjectures) का प्रस्ताव दिया गया है।
यह शोधपत्र सीव थ्योरी के मौलिक लेम्मा और संख्याओं की ज्यामिति का उपयोग करते हुए, एक अपरिवर्तनीय बाइनरी क्वाड्रेटिक फॉर्म द्वारा निरूपित मानों की संख्या के परिमाण के क्रम को स्थापित करता है जो एक वर्ग संख्या एक वाले एबेलियन संख्या क्षेत्र से नॉर्म्स हैं।
यह शोधपत्र कॉम्बिनेटोरियल मल्टीपल आइजनस्टीन सीरीज़ (combinatorial multiple Eisenstein series) का निर्माण करता है, जो -सीरीज़ का एक परिवार है जो विस्तारित डबल शफल समीकरणों (extended double shuffle equations) के एक दिए गए परिमेय समाधान और मल्टीपल ज़ेटा मानों (multiple zeta values) के बीच मध्यवर्ती भूमिका निभाता है, तथा ये मॉड्यूलर रूपों (modular forms) से निकटता से संबंधित -अनुरूप हैं और सिमेट्रिल (symmetril) एवं स्वैप इनवेरिएंट बिमाउल्ड्स (swap invariant bimoulds) के माध्यम से परिभाषित किए गए हैं।