1771 पेपर
यह शोध पत्र अभाज्य स्तर के होलोमॉर्फिक हीके कस्प फॉर्म्स (holomorphic Hecke cusp forms) से संबद्ध के मोमेंट्स (moments) के लिए एक बिना शर्त अनंतस्पर्शी सूत्र (unconditional asymptotic formula) स्थापित करता है, जिससे सेल्बर्ग के शास्त्रीय परिणाम का लेवल-एस्पेक्ट एनालॉग (level-aspect analogue) प्राप्त होता है और के वितरण के लिए एक भारित केंद्रीय सीमा प्रमेय (weighted central limit theorem) व्युत्पन्न होता है।
यह शोध पत्र एक विशिष्ट क्यूबिक -बाइनोमियल ट्रांसफॉर्मेशन फलन के विशेष उदाहरणों के लिए गुणांकों की गैर-ऋणात्मकता स्थापित करता है और क्यूबिक धनात्मकता-संरक्षण परिवर्तनों तथा रोजर्स-सेगो (Rogers-Szegő) बहुपदों का लाभ उठाकर नए बहुपद सर्वसमिकाओं को व्युत्पन्न करता है।
यह शोध पत्र संख्या क्षेत्रों (number fields) पर के डायोफेंटाइन समीकरण के लिए एसिम्प्टोटिक (asymptotic) और प्रभावी (effective) दोनों परिणाम स्थापित करने के लिए मॉड्यूल पद्धति का उपयोग करता है, जिसमें विशिष्ट काल्पनिक द्विघाती क्षेत्रों (imaginary quadratic fields) में कुछ गैर-तुच्छ समाधानों के अस्तित्व न होने की गारंटी देने वाले घातांक पर स्पष्ट सीमाएँ शामिल हैं।
यह शोध पत्र पूर्णांक कोहोमोलोजी (integral cohomology) के लिए परिष्कृत आइजनस्टीन कोहोमोलोजी (Eisenstein cohomology) तकनीकों का उपयोग करके, होलोमॉर्फिक कस्प-फॉर्म्स (holomorphic cuspforms) के युग्मों के लिए रैनकिन-सेल्बर्ग -फंक्शन्स के क्रिटिकल मानों के अनुपातों के बीच एक संगति (congruence) स्थापित करता है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि -मार्कोव संख्याएँ, जो एक विशिष्ट डायोफेंटाइन समीकरण द्वारा परिभाषित साधारण मार्कोव संख्याओं का एक सामान्यीकरण हैं, आइगनर के उन अनुमानों की पुष्टि करती हैं जो उनके क्रमबद्धता गुणों (ordering properties) से संबंधित हैं, और क्लस्टर बीजगणित (cluster algebra) तकनीकों का उपयोग करके शास्त्रीय मामले के लिए पूर्व में स्थापित परिणामों का विस्तार करती हैं।
यह शोध पत्र ग्लैशर के प्रमेय (Glaisher's theorem) के के मामले के लिए एक नई पहचान सिद्ध करने हेतु विभाजन फलन का सामान्यीकरण करता है और परिमित एवं अनंत दोनों रूपों में ग्लैशर के गुणनफल (Glaisher's product) के लिए एक नवीन श्रेणी निरूपण प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र श्टुकास (Shtukas) और इगुसा स्टैक्स (Igusa stacks) के मॉडुलि स्टैक्स के माध्यम से मेटा-यूनिटरी शिमुरा वेरिएटीज़ (meta-unitary Shimura varieties) के इंटीग्रल मॉडल्स को पुनर्गठित करके, शोज़े (Scholze) के फाइबर प्रोडक्ट अनुमान की वैधता स्थापित करता है, और तत्पश्चात इस ज्यामितीय ढांचे और यूनिपोटेंट कैटेगोरिकल लोकल लैंगलैंड्स पत्राचार (unipotent categorical local Langlands correspondence) को लागू करते हुए स्थानीय-वैश्विक अनुकूलता परिणामों को व्युत्पन्न करता है और उनके कोहोमोलॉजी (cohomology) के लिए एक सामान्य विलोपन प्रमेय (vanishing theorem) को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र टोरशन सबमॉड्यूल्स (torsion submodules) पर कार्य करने वाले एंडोमॉर्फिज्म (endomorphisms) से कोडों का निर्माण करके ड्रिंकल्ड मॉड्यूल्स (Drinfeld modules) और रैंक-मीट्रिक कोड्स (rank-metric codes) के बीच एक संबंध स्थापित करता है, जो शीकी (Sheekey) के परिणामों का एक वैचारिक प्रमाण प्रदान करता है और सेमीफील्ड कोड्स (semifield codes) के नए अनंत परिवारों को भी प्रस्तुत करता है।
यह शोधपत्र दो-आयामी आच्छादन प्रणालियों (two-dimensional covering systems) के एक नए अनुप्रयोग को प्रस्तुत करता है ताकि उन पूर्णांक युग्मों की पहचान की जा सके जहाँ में हमेशा एक विशिष्ट परिमित समुच्चय से एक अभाज्य विभाजक होता है, जिससे के अनंत विविक्त अभाज्य मानों को धारण करने के संबंध में एकमात्र अवरोधों के विषय में एक अनुमान प्रेरित होता है।
यह शोध पत्र यह सिद्ध करके कि वे गॉस-वर्ग (Gauss-square) गुणांकों और डॉम्ब (Domb) संख्याओं से व्युत्पन्न स्पष्ट क्रम-2 कर्नेल के विस्थापित उत्तोलनों (shifted lifts) के रूप में उत्पन्न होते हैं, एक रैंक-2 कंजर्वेटिव मैट्रिक्स फील्ड ढांचे के भीतर क्रम-3 -सूत्रों और अपेरी-समान (Apery-like) कर्नेल को एकीकृत करता है, साथ ही एक फलनत्व (functoriality) स्थापित करता है जो इन संरचनाओं को वर्गीकृत करता है और बेली पुलबैक (Belyi pullbacks) के माध्यम से 11 नई पूर्णांक अनुक्रमों को उत्पन्न करता है।