1774 पेपर
यह शोध पत्र दो-चरों वाले रैखिक डायोफेंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए एक औसत-मामले में कुशल पुनरावृत्ति एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो पुनरावृत्ति कॉल्स की औसत संख्या में एक स्थिरांक-पद सुधार प्रदर्शित करके और सभी समाधान योग्य इनपुट उदाहरणों के लिए कम पुनरावृत्ति प्राप्त करके विस्तारित यूक्लिड एल्गोरिदम से बेहतर प्रदर्शन करता है।
यह शोध पत्र यह परिकल्पना करता है कि परिमेय आधार संख्या प्रणालियों (rational base number systems) में न्यूनतम और अधिकतम शब्द उपयुक्त उप-वर्णमालाओं (subalphabets) पर सामान्य (normal) होते हैं, जो इस परिकल्पना का समर्थन व्यापक संख्यात्मक प्रयोगों के माध्यम से करता है और Z-संख्याओं के अस्तित्व तथा कोलात्ज़-प्रेरित "4/3 समस्या" जैसे लंबे समय से चले आ रहे खुले प्रश्नों को हल करने में इसके संभावित निहितार्थों पर चर्चा करता है।
यह शोध पत्र फाइबोनैकी प्रविष्टियों वाले एक रेडहेफर-प्रकार के आव्यूह को परिभाषित करता है, इसके सारणिक और स्पेक्ट्रल गुणों का विश्लेषण करता है, संख्या-सिद्धांत संबंधी उदाहरणों के साथ इसके सामान्यीकरणों की खोज करता है, और रीमैन परिकल्पना से संबंधित एक नवीन अभिव्यक्ति के साथ नए अनंतस्पर्शी परिणाम प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र विभाजक-योग फलन (divisor-sum function) के सांख्यिकीय गुणों की जांच करता है, यह सिद्ध करते हुए कि में सघन मानों के साथ एक निरंतर अनंत वितरण (continuous asymptotic distribution) रखता है, जबकि लेबोविट्ज़-लॉकर्ड और पोलैक द्वारा विकसित एक नवीन विधि का उपयोग करके माध्य मान और क्षण सीमाएं (moment bounds) स्थापित करता है।
यह शोध पत्र मॉडुलर फॉर्म्स पर उनके पूर्व परिणामों और वाटसन के एक शास्त्रीय सिद्धांत का उपयोग करते हुए, प्रतिबंधित दो-रंग वाले विभाजनों (restricted two-color partitions) के एक सीमित अनुक्रम के लिए 4 और 8 के मापांक (modulo) हेतु बन्नेर्जी, ब्रिंगमैन और बकराउई के एक अनुमान (conjecture) को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र इस प्रश्न का समाधान करता है कि क्या वर्गों के सेट में हिल्बर्ट क्यूब्स (Hilbert cubes) की अधिकतम विमा (dimension) सीमित है, यह सिद्ध करते हुए कि वर्गों के भीतर अनंत 3-आयामी हिल्बर्ट क्यूब्स मौजूद हैं, जिनके परिभाषित पैरामीटर धनात्मक वास्तविक संख्याओं में अनुपातों का एक सघन सेट (dense set) बनाते हैं।
यह शोधपत्र सुपरक्रिटिकल डिवाइजर फंक्शन्स द्वारा ट्विस्टेड रैंडम मल्टीप्लिकेटिव फंक्शन्स के आंशिक योगों के मोमेंट्स के लिए शार्प अपर बाउंड्स स्थापित करता है, जो सुपरक्रिटिकल गॉसियन मल्टीप्लिकेटिव केओस से प्राप्त भविष्यवाणियों की पुष्टि करता है और हार्पर के क्रिटिकल केस परिणाम का एक नया प्रमाण तथा रीमैन ज़ेटा फंक्शन के स्यूडोमोमेंट्स के लिए एक अनुमानित शार्प बाउंड प्रदान करता है।
यह शोध पत्र शास्त्रीय न्यूफॉर्म्स (newforms) के बेस-चेंज लिफ्ट्स के रूप में उभरने वाले हिल्बर्ट मॉड्यूलर फॉर्म्स के हेके आइगेनवैल्यूज (Hecke eigenvalues) के लिए एक स्पष्ट सूत्र व्युत्पन्न करता है, अबेलियन क्षेत्रों पर उनके -फंक्शन्स के गुणनखंडन को प्रदर्शित करता है, और हिडा परिवारों (Hida families) के लिए बेस-चेंज लिफ्ट्स के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए इन परिणामों का उपयोग करता है।
यह शोध पत्र साधारण (ordinary) और अति-असाधारण (supersingular) न्यूनीकरण (reduction) दोनों मामलों के लिए परिणाम स्थापित करके -विस्तार (extensions) पर एबेलियन वेरियटीज़ (abelian varieties) के इवासावा सिद्धांत (Iwasawa theory) को आगे बढ़ाता है, जिन्हें फिर माज़ुर विकास अनुमान (Mazur growth conjecture) को परिष्कृत करने और डायोफेंटाइन स्थिरता (Diophantine stability) तथा इंटीग्रल डायोफेंटाइन विस्तारों (integrally Diophantine extensions) की जांच करने के लिए लागू किया जाता है।
यह शोधपत्र पैरामीटर के अनंत की ओर अग्रसर होने पर एक विशिष्ट वर्ग के समाकलों (integrals) के लिए पूर्ण अनंत विस्तार (asymptotic expansions) व्युत्पन्न करता है, जो उनके गुणांकों को नीलसन के पॉलीलॉगैरिदम और मल्टीपल ज़ेटा मानों से जोड़ता है और साथ ही एक ऐसी सममिति स्थिति की पहचान करता है जिसके अंतर्गत विभिन्न शास्त्रीय बहुपद परिवारों के लिए ये गुणांक साधारण ज़ेटा मानों के बहुपदों में सरल हो जाते हैं।