1774 पेपर
यह शोधपत्र उनके जनरेटिंग फंक्शन्स (generating functions) और मॉड्यूलर फॉर्म्स (modular forms) एवं मॉक थीटा फंक्शन्स (mock theta functions) के बीच एक संबंध स्थापित करके एंड्रयूज और बच्च्राउई के रामानुजन-प्रकार के कॉंग्रुएंसों (Ramanujan-type congruences) और प्रतिबंधित दो-रंग विभाजनों (restricted two-color partitions) के लिए एक लुप्त होने वाली पहचान (vanishing identity) से संबंधित दो अनुमानों को हल करता है।
यह शोध पत्र इस संयोजन संबंधी तथ्य का लाभ उठाकर गैलुआ सिद्धांत के मूलभूत प्रमेय का एक सरल प्रमाण प्रस्तुत करता है कि एक क्षेत्र को परिमित रूप से कई उचित उपक्षेत्रों के संघ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
यह शोध पत्र को योगात्मक ऊर्जा (additive energy) के एक स्वाभाविक एंट्रोपिक तुलिकांग (entropic analogue) के रूप में स्थापित करता है, इसके आधारभूत सिद्धांत को विकसित करता है, ताओ के बालोग-सेज़ेरेदी-गौवर्स प्रमेय के एंट्रोपिक संस्करण को सिद्ध करने के लिए इसे लागू करता है, और परिमित क्षेत्रों (finite fields) में एंट्रोपिक ऊर्जाओं के लिए योग-गुणन (sum-product) अनुमानों को सूत्रबद्ध करता है।
यह शोध पत्र धनात्मक अभिलक्षण वाले क्षेत्रों (positive characteristic fields) में उन मापदंडों की अनंतता के लिए स्पष्ट आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ स्थापित करता है जहाँ बहुपद परिवार के अंतर्गत दो बिंदुओं के कक्ष (orbits) एक विशिष्ट तीसरे बिंदु पर टकराते हैं, साथ ही परिमित क्षेत्र (finite field) के मामले के लिए एक अनुमान (conjecture) भी प्रस्तावित करता है जहाँ सभी बिंदु एक परिमित क्षेत्र में स्थित होते हैं।
यह शोधपत्र एक निर्धारित सेट तक सीमित भागों वाले एक सम संख्या के समान रूप से यादृच्छिक पूर्णांक विभाजन (integer partition) के ग्राफिकल होने की प्रायिकता की जांच करता है, जो डर्फी स्क्वायर (Durfee square) पर आधारित एक ऊपरी सीमा स्थापित करता है और यह सिद्ध करता है कि जैसे-जैसे बढ़ता है, यह प्रायिकता शून्य की ओर घटती है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि रिडक्टिव p-एडिक समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत (representation theory) में एक महत्वपूर्ण अनुमान, ब्रुहाट-टीट्स बिल्डिंग (Bruhat-Tits building) पर एक ओरिएंटेड चेन कॉम्प्लेक्स की सटीकता (exactness) से प्राप्त होता है, जो बिल्डिंग के विश्लेषण के लिए नई संयोजन तकनीकों (combinatorial techniques) के माध्यम से के मामले में इस सटीकता के लिए प्रबल प्रमाण प्रदान करता है।
यह शोध पत्र एक संरचनात्मक बाधा स्थापित करता है जो यह सिद्ध करता है कि एकल-मूल्यांकन घातांकीय कर्नेल (single-valuation exponential kernels), जो स्पेक्ट्रल आयाम वाले ऑपरेटरों की ओर अभिसरित होते हैं, उन स्व-संलग्न (self-adjoint) ऑपरेटरों के साथ मौलिक रूप से असंगत हैं जिनमें सुपरलीनियर आइजनवैल्यू वृद्धि प्रदर्शित होती है जिसके लिए के स्पेक्ट्रल आयाम की आवश्यकता होती है।
यह शोधपत्र लेवल स्ट्रक्चर से सुसज्जित सुपर्सिंगुलर आइसोजेनी ग्राफ्स की जांच करता है और उनसे संबंधित गैलॉइस रिप्रेजेंटेशन्स का विश्लेषण करता है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि -विस्तार (expansions) में उन संख्याओं का समुच्चय, जो अपने अंकों के योग और अधिकतम अंकों के बीच एक विशिष्ट अनंत क्रमिक विकास दर (asymptotic growth rate) संबंध प्रदर्शित करते हैं, पूर्ण हासडॉर्फ आयाम (Hausdorff dimension) रखता है, जिससे नियमित सतत भिन्नों (continued fractions) पर पिछले परिणामों का इस व्यापक ढांचे में विस्तार होता है।
यह शोध पत्र युक्त एक न्यूनतम् ऑटोमॉर्फिज्म समूह वाली जेनस-2 वक्रों के लिए लैंग-ट्रोटर अनुमान का विस्तार करता है, विशेष रूप से वक्रों के परिवार के लिए एक औसत परिणाम स्थापित करता है।