1774 पेपर
यह शोध पत्र सिम्पलीशियल -पोटोटिक संख्याओं पर एक कलन (calculus) विकसित करके हाइपरजियोमेट्रिक बर्नौली बहुपदों के लिए एक -सादृश्य प्रस्तुत करता है, जो अवकलजों की नई परिभाषाएँ, कुमर कॉन्फ्लुएंट हाइपरजियोमेट्रिक और टचार्ड बहुपदों को जोड़ने वाली पहचान, तथा घातांकीय और हाइपरजियोमेट्रिक फलनों के सामान्यीकरण प्रदान करता है।
यह शोध पत्र शास्त्रीय -श्रृंखला और थीटा फलन उपकरणों, विशेष रूप से जैकोबी के उत्पाद विस्तार और रामानुजन के योग सूत्र का उपयोग करता है, ताकि रामानुजन-गöllnitz-गॉर्डन निरंतर भिन्न (continued fraction) को रामानुजन के क्रम चार वाले निरंतर भिन्न के साथ जोड़ने वाले नए समीकरणों को स्थापित किया जा सके, साथ ही नए आइजनस्टीन श्रृंखला (Eisenstein series) समीकरणों को व्युत्पन्न किया जा सके।
यह शोध पत्र एक नए न्यूफॉर्म (newform) के गुणांक क्षेत्र (coefficient field) में एक अभाज्य के विभाजन व्यवहार की जांच करता है जो निम्न स्तर (lower level) के एक अन्य न्यूफॉर्म के साथ के मापांक (modulo) के अंतर्गत सर्वांगसम (congruent) है, यह प्रदर्शित करते हुए कि -वें साइक्लोटोमिक क्षेत्र का अधिकतम वास्तविक उपक्षेत्र (maximal real subfield) अनिवार्य रूप से के गुणांक क्षेत्र के भीतर निहित होता है।
यह शोधपत्र त्रिकोणीय संख्याओं के उन युग्मों और त्रिकों की जांच करता है जहाँ किन्हीं भी दो भिन्न तत्वों का गुणनफल घटा एक पूर्ण वर्ग होता है, जो कि एक त्रिकोणीय संख्या के ऐसे युग्म का हिस्सा होने के लिए एक आवश्यक स्थिति स्थापित करता है और यह सिद्ध करता है कि ऐसी कोई भी संख्या अनंत -त्रिकों का हिस्सा है।
यह शोधपत्र यह सिद्ध करता है कि एक विशिष्ट विचलित (perturbed) होफस्टैडर अनुक्रम (Hofstadter sequence) को एक अनंत पुनरावर्ती संरचना से एक परिमित-अवस्था संयोजनात्मक प्रणाली (finite-state combinatorial system) में बदलकर, जिसे सभी संभावित बाधाओं को बाहर करने के लिए पूर्णतः सत्यापित किया जा सकता है, सभी के लिए सुपरिभाषित (well-defined) है।
यह शोध पत्र कोलमैन इंटीग्रेशन के माध्यम से -एडिक पीरियड वेक्टर्स का निर्माण करके ओरिएंटेड सुपरसिंगुलर एलिप्टिक कर्व्स और मॉड्यूलर सिम्बल्स के बीच एक गणनीय सेतु स्थापित करता है, जिससे मॉड्यूलर सिंबल इनवर्जन समस्या का परिचय मिलता है और इसोजीनी ग्राफ्स, ब्रुअट-टिट्स ट्रीज़ और क्रिप्टोग्राफी के साथ इसके संबंधों की खोज की जाती है।
यह शोध पत्र वेबर फलनों (Weber functions) द्वारा परिभाषित मॉड्यूलर वक्रों और बहुपदों की जांच करता है, जो कुशल क्रिप्टोग्राफिक गणनाओं और स्पष्ट गैलुआ प्रतिनिधित्व (Galois representations) के अनुप्रयोगों के साथ, सुपर्सिंगुलर एलिप्टिक कर्व्स के आइसोजेनी ग्राफ्स को अभिलक्षणित करने के लिए उनके समूह क्रियाओं (group actions) और पैरामीट्रिज़ेशन का विश्लेषण करता है।
यह मानते हुए कि $abc\tauXO(X^{9/10}\log X)$ का एक ऊपरी आबद्ध (upper bound) स्थापित करता है, जबकि यह उनकी अनंत किंतु विरल उपस्थिति के लिए एक अनुमानी पूर्वानुमान (heuristic prediction) भी प्रदान करता है।
यह शोध पत्र योगात्मक समूहों (additive groups) के इक्विवेरिएंट कॉम्पैक्टिफिकेशन (equivariant compactifications) के लिए एक मोटिविक संस्करण (motivic version) को स्थापित करता है, जो यह सिद्ध करता है कि एक उपयुक्त ग्रोथेंडिएक रिंग ऑफ वैराइटीज़ (Grothendieck ring of varieties) के भीतर, सेक्शनों के मॉडुलि स्पेस का नॉर्मलाइज़्ड क्लास (normalized class), ड्यूल इफेक्टिव कोन (dual effective cone) की सीमा से दूर जाने पर एक गैर-शून्य प्रभावी मोटिविक यूलर प्रोडक्ट (non-zero effective motivic Euler product) की ओर अभिसरित होता है।
यह शोध पत्र गैर-विभाजित अभाज्य संख्याओं (non-split primes) के लिए -adic वाल्डस्पर्गर सूत्र का सामान्यीकरण करता है और स्व-द्वैत CM वर्णों (self-dual CM characters) के लिए ग्रॉस-ज़ैगियर-कोलीविगिन प्रमेय के विलोम को सिद्ध करने हेतु एक नवीन एंटीसाइक्लोटोमिक स्थानीय -इवासावा सिद्धांत स्थापित करता है, जिससे दो परिमेय घनों के योगों पर सिल्वेस्टर के अनुमान और CM एलिप्टिक वक्रों के लिए गोल्डफेल्ड के अनुमान की पुष्टि होती है।