1774 पेपर
यह शोध पत्र गोलाकार विविधताओं (spherical varieties) का उपयोग करके के सामान्य प्रकार के नियमित बीजगणिक कस्पिडल ऑटोमोर्फिक निरूपणों (regular algebraic cuspidal automorphic representations) के लिए प्रथम -adic -फंक्शन्स का निर्माण करता है, जो क्रिटिकल मानों को इंटरपोलेट करने के लिए एक बेट्टी यूलर सिस्टम (Betti Euler system) का उपयोग करता है और कोट्स-पैरिन-रिरियू (Coates-Perrin-Riou) एवं पंचिशकिन (Panchishkin) के अनुमानों की पुष्टि करता है।
यह शोध पत्र छोटे तत्वों द्वारा -त्रिकों (triples) के विस्तार की जांच करता है, ऐसे विस्तारों की विशिष्टता के लिए शर्तों को स्थापित करता है और यह सिद्ध करता है कि किसी भी -त्रिक में एक छोटे तत्व के साथ अधिकतम दो विस्तार होते हैं।
यह शोध पत्र लॉरेंस-वेंकटेश पद्धति को एक बड़े मोनोड्रोमी मानदंड के साथ संयोजित करके अपने अल्बनेसस वैराइटी के आयाम के आधे से कम आयाम वाली अत्यंत अनियमित वैराइटीज़ के लिए शफेरेविच अनुमान को सिद्ध करता है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि, सौम्य धारणाओं के अंतर्गत, चिकनी क्युबिक थ्रीफोल्ड्स (cubic threefolds) पर रेखाओं के फानो सतह (Fano surfaces) उन अद्वितीय चिकनी उप-विविधताओं (subvarieties) के रूप में हैं जिनके एबेलियन वेरिएटीज़ (abelian varieties) के लिए पर्वर्ज़ शेव्स (perverse sheaves) के कॉन्वोल्यूशन का टैनका समूह (Tannaka group) एक अपवादिक सरल समूह (exceptional simple group) है, जिससे शफेरेविच अनुमान (Shafarevich conjecture) पर पिछले परिणामों को महत्वपूर्ण रूप से मजबूती मिलती है।
यह शोधपत्र पूर्णांकों के -प्रतिनिधित्व के नए गुणों को स्थापित करता है, जिसमें गणनात्मक सहायकों के रूप में वॉलनट (Walnut) प्रमेय-सिद्धकर्ता और चैटजीपीटी 5 (ChatGPT 5) का उपयोग करते हुए किम्बरलिंग (Kimberling) के 2012 के अनुमान का प्रमाण शामिल है।
यह शोध पत्र सकारात्मक विशेषता वाले परिमित रूप से जनित क्रमविनिमेय वलयों (finitely generated commutative rings) पर रैखिक पुनरावृत्ति अनुक्रमों (linear recurrence sequences) के लिए स्कोलेम समस्या (Skolem Problem) की निर्णयक्षमता (decidability) को यह सिद्ध करके स्थापित करता है कि उनके शून्य समुच्चय (zero sets) -सामान्य समुच्चयों (p-normal sets) के प्रभावी रूप से गणनीय परिमित संघ (effectively computable finite unions) हैं, जो S-इकाई समीकरणों (S-unit equations) और गुणात्मक रूप से स्वतंत्र संख्याओं (multiplicatively independent numbers) पर रैखिक समीकरणों को हल करने में हालिया प्रगति का लाभ उठाते हैं।
यह शोध-पत्र उस सिद्धांत की संगणकीय जांच करता है जिसके अनुसार होलोमोर्फिक कस्पफॉर्म्स (holomorphic cuspforms) के बीच सर्वांगसमताएँ (congruences), उनके संबंधित रैनकिन-सेल्बर्ग एल-फंक्शन्स (Rankin–Selberg -functions) के विशेष मानों के बीच सर्वांगसमताओं को प्रेरित करती हैं, जो एक सटीक सामान्य अनुमान (general conjecture) के प्रतिपादन की ओर ले जाता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि कई पूर्णांक आधारों (integer bases) में सबसे बाएं अंकों के संयुक्त वितरण की अधिरोपणता (surjectivity), उनके लघुगणकों की परिमेय स्वतंत्रता (rational independence) को निहित करती है, जो दो आधारों के लिए और शैनुएल के अनुमान (Schanuel's conjecture) के तहत तीन या अधिक आधारों के लिए इसके विलोम को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र लियौविले फलन (Liouville function) के विविक्त कनवल्शन (discrete convolution) की जांच करता है, जिसके इसके भारित औसत (weighted averages) के लिए एक स्पष्ट सूत्र को व्युत्पन्न किया गया है ताकि इसके डिरिचलेट और पावर सीरीज़ के संबंध में नए गुणों के साथ-साथ कई कारकों में इसके सामान्यीकरणों को प्रकट किया जा सके।
यह शोध पत्र धनात्मक अभिलक्षण (positive characteristic) में बहु-आइजनस्टीन श्रेणियों (multiple Eisenstein series) के लिए रैखिक स्वतंत्रता के परिणामों को स्थापित करता है और यह सिद्ध करता है कि उनकी संबद्ध -शफल बीजगणित (q-shuffle algebra), मल्टीपल ज़ेटा वैल्यू बीजगणित के टेंसर वर्ग (tensor square) के समाकारोपांतरित (isomorphic) है, जिससे इस अनुमान की पुष्टि होती है कि यह एक साहचर्य बीजगणित (associative algebra) बनाता है।