1774 पेपर
यह शोध पत्र बोहर सेट्स (Bohr sets) में अभाज्य संख्याओं के वितरण और वृत्त घूर्णनों (circle rotations) के समप्रसरण (equidistribution) पर नवीन परिणामों का उपयोग करते हुए, विशिष्ट समुच्चयों में पैरामीटर की सदस्यता के आधार पर विषम समावेशन (inhomogeneous approximation) के लिए एक शून्य-एक नियम (zero-one law) स्थापित करके डफिन-शैफर प्रमेय को वास्तविक अवशेष प्रणालियों (real residue systems) के लिए सामान्यीकृत करता है।
यह शोध पत्र -adic होश सिद्धांत (Hodge theory) का उपयोग करते हुए mod गैर-विभाजित कार्टन छवियों (non-split Cartan images) वाले पर दीर्घवृत्तीय वक्रों (elliptic curves) के -adic गैलुआ छवियों को वर्गीकृत करता है, जो संभावित रूप से अति-अभाज्य (supersingular) मामले के लिए एक नवीन एल्गोरिदम प्रदान करता है और पर दीर्घवृत्तीय वक्रों के लिए उनके एडेलिक छवियों (adelic images) पर सीमाओं को तीक्ष्ण करने वाले वैश्विक परिणाम प्राप्त करता है।
यह शोध पत्र विशेष रूप से और के मानों पर q-नारायणा बहुपदों (q-Narayana polynomials) के गुणों की जांच और तुलना करता है।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि, ग्रुनवाल्ड-वांग प्रमेय के उस विशेष मामले के विपरीत जहाँ बाधा (obstruction) क्रम 2 का एक समूह है, मानित क्षेत्रों (valued fields) के लिए सामान्यीकृत परिवेश में बाधा हमेशा परिमित नहीं होती और न ही स्थानों (places) की संख्या से स्वतंत्र रूप से सीमित होती है, यहाँ तक कि परिमेय फलन क्षेत्रों (rational function fields) के लिए भी।
यह शोध पत्र अबेलियन जटिलता फलनों (abelian complexity functions) को अंक विस्तारों (digit expansions) के अनुकूल बनाकर अबेलियन-सामान्य संख्याओं (abelian-normal numbers) की अवधारणा प्रस्तुत करता है, चैम्परनाउन्स स्थिरांक (Champernowne's constant) का एक गैर-सामान्य अनुरूप निर्मित करता है जो इस नई विशेषता को संतुष्ट करता है, और इसके व्यवहार के संबंध में खुले प्रश्नों का प्रस्ताव करता है।
यह शोध पत्र वर्ग-मुक्त स्तर के भार वाले न्यूफॉर्म्स और किसी भी वर्ण (character) वाले वर्ग-मुक्त स्तर के भार वाले न्यू आइजनस्टीन सीरीज़ (Eisenstein series) के बीच आइजनस्टीन सर्वांग्रहण (congruences) के अस्तित्व के संबंध में एक सामान्य अनुमान (conjecture) प्रस्तावित करता है और आंशिक रूप से सिद्ध करता है, जबकि साथ ही ब्लॉच-काटो अनुमान (Bloch-Kato conjecture) के साथ संबंधों का अन्वेषण भी करता है और गणनात्मक उदाहरण प्रदान करता है।
यह शोध पत्र घातांकों (exponential sums) के माध्यम से ऊपरी सीमाएँ स्थापित करके, विषम और सम विभाजनों के लिए अनंतस्पर्शी सूत्र (asymptotic formulas) व्युत्पन्न करके, और प्रमुख चापों (major arcs) के योगदान को रीमैन ज़ेटा-फंक्शन के शून्यों से जोड़कर, मोबियस संवोधन भार (Möbius convolution weights) द्वारा परिभाषित विभाजनों की जांच करता है।
यह शोधपत्र स्वैच्छिक पूर्णतः वास्तविक क्षेत्रों (totally real fields) पर समानांतर भार वाले हिल्बर्ट आइगेनफॉर्म्स (Hilbert eigenforms) और आइजनस्टीन श्रृंखलाओं (Eisenstein series) के बीच आइजनस्टीन संग्रति (Eisenstein congruences) के अस्तित्व को स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि ये संग्रतियाँ हेके एल-फंक्शन्स (Hecke L-functions) के विशेष मानों से उत्पन्न होती हैं और उन स्थितियों को निर्धारित करती है जिनके अंतर्गत उन्हें न्यूफॉर्म्स (newforms) द्वारा संतुष्ट किया जा सकता है।
यह शोध पत्र हाइपरबाइनरी विभाजनों के लिए लंबाई जनन फलन (length generating function), के तीन अनुप्रयोगों को स्थापित करता है, जो कैलकिन-विल्फ वृक्ष (Calkin-Wilf tree) में परिमेय संख्याओं के q-अनुरूपों (q-analogues) से जुड़ाव, विशिष्ट फेंस पोसेट्स (fence posets) के ऑर्डर आइडियल्स (order ideals) के लैटिस का अभिलक्षणन, और इन q-अनुरूपों की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले मैट्रिक्स उत्पादों के प्रविष्टियों को व्यक्त करने के माध्यम से किया गया है।
यह शोध पत्र नाइटली और रेनो के 2018 के एक-स्तरीय घनत्वों (one-level densities) में भार-निर्भर समरूपता (weight-dependent symmetry) के निष्कर्षों को भारित ट्रेस सूत्र (weighted trace formula) को अनिश्चित पूर्णांकों तक सामान्यीकृत करके, परिणामी क्रॉस टर्म्स का विश्लेषण करके, और रैंडम मैट्रिक्स थ्योरी के साथ तुलना को सुगम बनाने के लिए एक कॉम्बिनेटरियल तकनीक का उपयोग करके -फंक्शन्स के केंद्रित मोमेंट्स (centered moments) तक विस्तारित करता है।