1774 पेपर
यह शोध पत्र रीमान ज़ेटा फलन के यूलर उत्पाद से प्रेरित एक अभाज्य-भारित दोलनी मॉडल (prime-weighted oscillatory model) का विश्लेषण करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि कैसे भार घातांक आयाम और स्थिरता को नियंत्रित करता है और को उच्च-ऊर्जा और अति-मंदित (over-damped) व्यवहारों के बीच संतुलन बनाने वाले एक महत्वपूर्ण क्षेत्र के रूप में पहचानता है।
यह शोध पत्र कंपोजिट यूलर छद्म-अभाज्य संख्याओं (composite Euler pseudoprimes) को उत्पन्न करने के लिए एक तेज़ एल्गोरिदम विकसित करने हेतु कारमाइकल संख्याओं का वर्गीकरण करता है, और अंततः एक रिकॉर्ड-तोड़ उदाहरण की खोज करता है जो 211 तक की पहली 47 अभाज्य आधारों (prime bases) के लिए सोलोवे-स्ट्रासेन प्राइमैलिटी टेस्ट पास करता है।
यह शोध पत्र टैनकियन श्रेणियों (Tannakian categories) का उपयोग करके परिमित क्षेत्रों पर जुड़े हुए क्रमविनिमेय बीजगणितीय समूहों (connected commutative algebraic groups) पर पर्वर्स शिफ़्स (perverse sheaves) के लिए एक सामान्य अनरैमिफाइडनेस (unramifiedness) परिणाम स्थापित करता है, जिससे टैनकियन मोनोड्रोमी समूहों के लिए एक नया समविभाजन प्रमेय (equidistribution theorem) और घातांकीय योगों (exponential sums) के लिए एक स्तरीकरण प्रमेय के साथ संबंधित लुप्त होने (vanishing) और प्रसार (propagation) परिणाम सिद्ध होते हैं।
यह शोध पत्र प्रिसमैटिक कोहोमोलॉजी (prismatic cohomology) में सुलीमा के नॉर्म मैप्स (norm maps) को परिष्कृत करके -एडिक रेगुलेटर (p-adic regulator) के एक -डिफॉर्मेशन (q-deformation) का निर्माण करता है, जिसे साइक्लोसिंटोमिक रेगुलेटर (cyclosyntomic regulator) कहा जाता है, और साइक्लोटॉमिक यूनिट्स (cyclotomic units) पर इसके मानों की गणना करता है।
सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना (generalized Riemann hypothesis) को मानते हुए, यह शोध पत्र गैर-हाइपरएलिप्टिक वक्र से व्युत्पन्न एक ट्विस्ट परिवार के औसत विश्लेषणात्मक रैंक (average analytic rank) पर एक स्पष्ट ऊपरी सीमा स्थापित करता है और इस परिवार के लिए एक संगत गोल्डफेल्ड अनुमान (Goldfeld conjecture) का प्रस्ताव करता है।
यह शोधपत्र की सीमा में, स्तर और भार के प्रिमिटिव न्यूफॉर्म्स (primitive newforms) पर औसत, -फंक्शन्स के केंद्रीय मानों के दूसरे क्षण (second moment) के लिए एक लिंडेलोफ़-संगत (Lindelöf-consistent) ऊपरी सीमा स्थापित करता है।
यह शोध पत्र प्रथम प्रकार के इनवोल्यूशन वाले बीजगणितों (algebras with involution) के लिए उचित प्रक्षेपिक सिमिलिट्यूड्स (proper projective similitudes) के R-तुल्यता वर्गों (R-equivalence classes) पर पिछले परिणामों का विस्तार करता है, जिसमें आधार क्षेत्र (base field) और क्लिफोर्ड इनवेरिएंट (Clifford invariant) पर शर्तों को शिथिल किया गया है, विशेष रूप से उन क्षेत्रों पर ध्यान केंद्रित किया गया है जहाँ प्रत्येक 9-आयामी द्विघाती रूप (quadratic form) का एक गैर-तुच्छ शून्य (nontrivial zero) होता है और होता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि परिमित अभाज्य क्षेत्रों (finite prime fields) पर, एक घात- वाला बहुपद जिसका प्रतिबिंब के एक उपसमुच्चय पर किसी भी गैर-स्थिर (non-constant) घात तक के बहुपद के पूर्ण प्रतिबिंब से बचता है, वह पर एक सीमित ग्रीन-ताओ (Green-Tao) घात--रैंक वाले बहुपद के साथ मेल खाता है, और यदि यह स्थिति घात तक विस्तारित होती है, तो वह बहुपद निर्देशांकों की एक सीमित संख्या द्वारा निर्धारित होता है।
यह शोध पत्र एक ही समूह के भीतर उपसमूहों के युग्मों के लिए स्टालिंग्स के प्रमेय का एक होमोलॉजिकल एनालॉग स्थापित करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि यह परिणाम समरूप सार्वभौमिक नीलेपोटेंट (nilpotent) कोटिएंट्स वाले गैर-आइसोमॉर्फिक संख्या क्षेत्रों और गैर-आइसोमेट्रिक हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड्स को उत्पन्न करता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि ज्यामितीय फंडेमेंटल समूहों का नीलेपोटेंट प्रतिनिधित्व सिद्धांत अनैबेलियन (anabelian) नहीं है।
यह शोध पत्र मात्सुदा के कुमर-आर्टिन-श्रीयर-विट सिद्धांत (Matsuda's Kummer–Artin–Schreier–Witt theory) का उपयोग करते हुए एक नवीन तकनीक प्रस्तुत करता है, जो विशेषता से विशेषता $0$ तक आर्टिन-श्रीयर-विट इसोजेनी (Artin–Schreier–Witt isogeny) के एक लिफ्ट का स्पष्ट रूप से निर्माण करती है, जिससे गैलवा कवर लिफ्टिंग (Galois cover liftings), इनसेपरेबल विस्तार (inseparable extensions), और काटो के रिफाइंड स्वान कंडक्टर (Kato's refined Swan conductor) के अध्ययन को आगे बढ़ाया जा सकता है।