1726 पेपर
यह शोधपत्र गैर-सुपरसिंगुलर मामले में सामान्यीकृत कुमर सतहों (generalized Kummer surfaces) के सुदृढ़ न्यूनीकरण (good reduction) के लिए एक मानदंड स्थापित करता है, जब अंतर्निहित एबेलियन सतह का न्यूनीकरण गैर-सुपरसिंगुलर हो और कार्य करने वाला समूह चक्रीय (cyclic) हो, जिससे लाज़दा और स्कोरोबोगाटोव के पिछले परिणामों का विस्तार होता है।
यह शोध पत्र एक यूनिवर्सल स्केलेम सेट (Universal Skolem Set) का निर्माण करके स्केलेम समस्या (Skolem Problem) की निर्णयक्षमता (decidability) को आगे बढ़ाता है, जिसका घनत्व कम से कम 1/8 है, जिसे मार्टिन के बाटेमैन-हॉर्न अनुमान (Bateman-Horn conjecture) के यूनिफॉर्म निरूपण के तहत घनत्व 1 वाला दिखाया गया है।
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि अभाज्य संख्याओं पर घातांकीय योग (exponential sums) लघु अंतरालों पर औसत रूप से वर्गमूल निरसन (square root cancellation) से बेहतर प्रदर्शन नहीं करते हैं, जिससे उनके सुप्रीमम (supremum) के लिए का निचला मान स्थापित होता है और एमोन और रामारे द्वारा उठाए गए एक प्रश्न का समाधान होता है।
यह शोध पत्र एक द्विपक्षीय योग (bilateral sum) निरूपण प्रदान करके जेरार्ड 'ट हूफ़्ट की श्रेणी के विश्लेषणात्मक सातत्य (analytical continuation) की समस्या का समाधान करता है और ऋणात्मक वास्तविक अक्ष पर इसके अनंतस्पर्शी विस्तार (asymptotic expansion) के घातांकीय रूप से दमित पदों में प्रकट होने वाले बहुपदों के फैक्टोरियल विकास और साइनुसोइडल व्यवहार को अभिलक्षित करता है।
यह शोधपत्र प्रथम स्पष्ट बिना शर्त थ्रेशोल्ड (unconditional thresholds), विशेष रूप से और , स्थापित करता है, जो यह गारंटी देते हैं कि प्रथम अभाज्य अंतराल (prime gaps) का अनुक्रम ग्राफिक है और इसके यथार्थ (realizations) क्रमशः DPG-ग्राफिक गुणों को संतुष्ट करते हैं, जो रिमान ज़ेटा फलन के शून्य-मुक्त क्षेत्रों (zero-free regions) और शून्य-घनत्व अनुमानों (zero-density estimates) से प्राप्त परिष्कृत ग्राफिक मानदंडों और स्पष्ट अनुमानों को नियोजित करके किया गया है।
यह शोध पत्र विषम अभिलक्षण वाले परिमित क्षेत्रों पर स्प्लिट रिचेलोट आइसोजेनीज़ (split Richelot isogenies) के लिए इनपुट स्पेस का सटीक स्तरीकरण स्थापित करता है, जिससे क्लोज्ड मास फॉर्मुला (closed mass formulas) और स्टेबलाइजर्स का एक पूर्ण वर्गीकरण प्राप्त होता है जो परिणामी जैकोबियन के क्षेत्र की परिभाषा और वेइल बहुपद के आकार को निर्धारित करने के लिए कुशल, सिद्ध रूप से रेडंडेंट पोस्ट-चेक (provably redundant post-checks) को सक्षम बनाता है।
यह शोधपत्र अभाज्य स्तरों (prime levels) पर आइजनस्टीन सीरीज़ (Eisenstein series) का उपयोग करते हुए भार के कस्प फॉर्म्स (cusp forms) के स्थान के लिए एक स्पष्ट परिमेय स्पैनिंग सेट (explicit rational spanning set) का निर्माण करता है, जो इस मुख्य परिणाम पर आधारित है कि कस्प फॉर्म्स अपने गैर-केंद्रीय द्विघाती-ट्विस्ट -मानों (noncentral quadratic-twist -values) द्वारा निर्धारित होते हैं।
यह शोध पत्र आवधिक ट्रेस फलनों (periodic trace functions) के परिवारों में आंशिक योगों के अधिकतम (maximum) के वितरण के लिए 'टेल एस्टीमेट' (tail estimate) में सुधार करता है ताकि इसके लघुगणक (logarithm) के लिए एक नया अनंतस्पर्शी सूत्र (asymptotic formula) प्रदान किया जा सके और एक संरचना प्रमेय (structure theorem) स्थापित की जा सके जो यह दर्शाता है कि, डिरिचलेट कैरेक्टर योगों (Dirichlet character sums) के विपरीत, ये अधिकतम मुख्य रूप से आवर्त के मध्य बिंदु के पास प्राप्त किए जाते हैं और अपने काल्पनिक भागों (imaginary parts) द्वारा प्रभावी होते हैं।
यह शोध पत्र 25 के क्रम वाले प्रारंभिक एबेलियन समूह (elementary abelian group) के लिए पूर्णांक समूह डिटरमिनेंट्स (integer group determinants) के वर्गीकरण को यह सिद्ध करके पूर्ण करता है कि से विभाज्य प्रत्येक पूर्णांक एक समूह डिटरमिनेंट के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जिससे ऐसे सभी मानों के सेट का पूर्णतः अभिलक्षणन (characterization) होता है।
यह शोध पत्र पूर्णांकों के उन समुच्चयों के लिए, जहाँ दो सबसे बड़े तत्व विशिष्ट निचली सीमाओं को संतुष्ट करते हैं, उसके अंतिम और सबसे चुनौतीपूर्ण खुले मामले को हल करके प्रतिबंधित योग-समुच्चयों (restricted sumsets) के संबंध में लंबे समय से चले आ रहे फ्रीमैन-लेव अनुमान (Freiman-Lev conjecture) का एक पूर्ण प्रमाण प्रस्तुत करता है।