1774 पेपर
यह शोध पत्र मिक्सिंग स्थितियों के तहत निश्चित और अनिश्चित मानों के मात्रात्मक दीर्घतम-रन सांख्यिकी (longest-run statistics) के लिए एक सामान्य प्रमेय स्थापित करता है, जिसे निरंतर-भिन्न (continued-fraction) आंशिक भागज (partial quotients) के लिए स्पष्ट लगभग-निश्चित लघुगणकीय विकास नियमों और सटीक द्वि-लघुगणकीय त्रुटि सीमाओं को व्युत्पन्न करने के लिए लागू किया गया है।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करके स्ट्रॉस-एर्डोस अनुमान (Straus-Erdős conjecture) का समाधान प्रदान करने का दावा करता है कि प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए, धनात्मक पूर्णांक विद्यमान हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
यह शोध पत्र (जहाँ एक अभाज्य संख्या है) के विवेचक (डिस्क्रिमिनेंट) वाले धनात्मक निश्चित बाइनरी द्विघात रूपों (पॉजिटिव डेफिनिट बाइनरी क्वाड्रेटिक फॉर्म्स) के -तुल्यता वर्गों की संख्या के लिए एक अनंतस्पर्शी सूत्र (एसिम्प्टोटिक फॉर्मूला) व्युत्पन्न करता है और हुरविट्ज़ क्लास संख्याओं के वितरण का वर्णन करने के लिए एक यादृच्छिक यूलर उत्पाद मॉडल प्रस्तावित करता है।
यह शोध पत्र मॉड्यूलर वक्र से कम से कम 2 की जीनस (genus) वाले वक्रों तक के गैर-स्थिर रूपांतरणों (non-constant morphisms) की जांच करता है, यह सिद्ध करते हुए कि कुछ विशिष्ट अभाज्य संख्याओं के लिए, ऐसा एकमात्र रूपांतरण पर होने वाला कोटा मैप (quotient map) है, और इस परिणाम का उपयोग पर निम्न-डिग्री वाले बिंदुओं को वर्गीकृत करने तथा अनंत डिग्री 6 वाले बिंदुओं वाले वक्रों की पहचान करने के लिए करता है।
यह शोध पत्र साइक्लोटोमिक मल्टीपल हर्टविट्ज़ ज़ेटा मानों (cyclotomic multiple Hurwitz zeta values) के लिए स्पष्ट, रेगुलराइजेशन-मुक्त समरूपता सूत्र व्युत्पन्न करने के लिए कंटूर इंटीग्रेशन और रेसिड्यू प्रमेय का उपयोग करता है, जो साइक्लोटोमिक मल्टीपल ज़ेटा और -मानों के लिए नए परिणाम प्रदान करता है और एकल-पैरामीटर मामले के लिए समरूपता अनुमान (symmetry conjecture) को सिद्ध करता है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि शुद्ध क्षेत्रों के परिवारों के लिए, वह घटना जहाँ क्षेत्र सभी स्थानीय मोनोजेनिकिटी (monogenicity) शर्तों को पूरा करते हैं लेकिन एक वैश्विक पावर इंटीग्रल बेसिस (global power integral basis) का अभाव रखते हैं, दुर्लभ है, जो स्वाभाविक घनत्व शून्य (natural density zero) के साथ घटित होती है।
यह शोधपत्र एक नए विश्लेषणात्मक सामान्य रूप (analytic normal form) और मेलिन-हर्विट्ज़ ज़ेटा विश्लेषण (Mellin–Hurwitz zeta analysis) का उपयोग करते हुए यह सिद्ध करता है कि हॉर्मैंडर-बर्नहार्डसन चरम फलन (Hörmander–Bernhardsson extremal function) के वर्गित वास्तविक शून्य एक ग्राह्य अनुक्रम (admissible sequence) बनाते हैं, जिससे उनके संबंधित डिरिचलेट-प्रकार की श्रेणियों के संबंध में एक अनुमान (conjecture) का समाधान होता है और उनकी घातों की ग्राह्यता के लिए एक सम-विषम द्वैत (parity dichotomy) स्थापित होती है।
यह शोधपत्र बहुपदों और अर्ध-मॉड्यूलर रूपों (quasimodular forms) को संयोजित करने वाले फलनों की एकदिष्टता (monotonicity) की जांच करता है, इन परिणामों का उपयोग नए धनात्मक अर्ध-मॉड्यूलर रूपों के निर्माण के लिए और इष्टतम गोला पैकिंग (optimal sphere packing) के अध्ययन में प्रयुक्त प्रमुख असमानताओं के लिए वैकल्पिक प्रमाण प्रदान करने के लिए करता है।
यह शोध पत्र सभी गैर-अपभ्रंश (non-degenerate) चिकनी मैनिफोल्ड्स और सामान्य (generic) अफाइन उपसमष्टि (affine subspaces) पर गुणात्मक डायोफेंटाइन सन्निकटन (multiplicative Diophantine approximation) के लिए अभिसरण सिद्धांत को स्थापित करता है, जिससे बेरेस्नेविच और वेलानी द्वारा उठाए गए एक लंबे समय से चले आ रहे प्रश्न का समाधान होता है और इन संरचनाओं की प्रबल अति-चरमता (strong extremality) पर मौजूदा परिणामों को परिष्कृत किया जाता है।
यह शोध पत्र उन सभी मोर्डेल समीकरणों की पहचान करता है जिनमें ठीक पूर्णांक समाधान हैं, इन वक्रों के लिए स्पष्ट सीमाएँ और पैरामीट्रिक परिवार स्थापित करता है, और मोर्डेल वक्रों तथा बाइनरी क्यूबिक रूपों के बीच संबंध का उपयोग करके पूर्णांक समाधानों की संख्या के लिए निचली सीमा में सुधार करता है।