1774 पेपर
यह शोधपत्र मामूली अंकगणितीय धारणाओं के तहत काल्पनिक द्विघाती क्षेत्रों पर परिमेय अलिप्टिक वक्रों के लिए एंटीसाइक्लोटोमिक इवासावा मुख्य अनुमानों को सिद्ध करता है, जिसमें के लिए दोनों गुड ऑर्डिनरी और सुपरसिंगुलर मामलों को शामिल किया गया है।
यह शोध पत्र के मास कस्प फॉर्म्स (Maass cusp forms) के हीके आइजनवैल्यूज़ (Hecke eigenvalues) द्वारा भारित रैखिक घातांकीय योगों (linear exponential sums) के लिए -परिणाम स्थापित करता है, जिसमें छोटे अभाज्य हरों (small prime denominators) का उपयोग किया गया है, जो यह प्रदर्शित करता है कि ये निचली सीमाएँ विशिष्ट श्रेणियों में काल्पनिक ऊपरी सीमाओं से मेल खाती हैं और साथ ही लघु खंडों (short segments) के लिए बेहतर ऊपरी सीमाएँ और गैर-तुच्छ परिणाम भी प्रदान करती हैं।
यह शोध पत्र के लिए -यूनिट समाधानों को अलग करने वाले पॉलीलॉगैरिद्मिक मोटिविक शाऊटी-किम फलनों (polylogarithmic motivic Chabauty-Kim functions) का निर्माण करने के लिए एक कुशल रिसल्टेंट-आधारित विधि प्रस्तावित करता है, जो गहराई 6 और डिग्री 18 पर एक अद्वितीय गैर-तुच्छ फलन की पहचान करके दो अभाज्य संख्याओं के मामले में इसकी इष्टतमता को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है।
यह शोध पत्र अफ़ाइन फलनों (affine functions) के सेमीग्रुप द्वारा जनरेट किए गए एक-आयामी ऑर्बिट सेट्स की वृद्धि के लिए नए निचली सीमाएँ (lower bounds) स्थापित करता है, जो एक विशिष्ट रेसिप्रोकल सम (reciprocal sum) स्थिति को संतुष्ट करने वाले मुक्त सेमीग्रुप के लिए उप-रैखिक (sublinear) सीमा सिद्ध करता है और यह प्रदर्शित करता है कि जब फलन पूर्णांकों की एक सटीक कवरिंग प्रणाली (exact covering system) बनाते हैं, तो उनका घनत्व धनात्मक होता है।
यह शोध पत्र की सीमा के लिए की एक अधिक सटीक ऊपरी सीमा स्थापित करके, उन विस्थापित अभाज्य संख्याओं के अनुपात के लिए डिंग (Ding) के हालिया मात्रात्मक आबंध (quantitative bound) में सुधार करता है जिनका एक बड़ा अभाज्य गुणनखंड है।
यह शोध पत्र ABC अनुमान (ABC conjecture) और बोम्बिएरी के निरंतर-भिन्न (continued-fraction) सूत्रों का लाभ उठाते हुए घनमूलों (cubic roots) के लिए रोथ (Roth) और रिडॉट (Ridout) स्थिरांकों के लिए स्पष्ट प्रभावी सीमाएँ व्युत्पन्न करता है, जबकि "अनुमान लाभ" (approximation gain) की अवधारणा को पेश करते हुए ABC अनुमान पर हमला करने के लिए एक नई रणनीति प्रस्तावित करता है जो इस कम्प्यूटेशनल साक्ष्य पर आधारित है कि यह लाभ 1.5 से नीचे रहता है।
यह शोध पत्र विशिष्ट डिस्क पर हाइपरजियोमेट्रिक फलनों (hypergeometric functions) के p-adic मान (valuation) की गणना करने, उन अभाज्य संख्याओं (primes) के सेट को निर्धारित करने जिनके मॉड्युलो (modulo) उन्हें कम किया जा सकता है, और उनके न्यूनीकरण (reductions) के लिए शून्यकारी बहुपदों (annihilating polynomials) को खोजने हेतु एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र फर्गस-फोंटेन वक्र के वैश्विक एनालॉग पर -बंडलों के मॉड्युली पर मौलिक परिणाम स्थापित करता है, इसका उपयोग वैश्विक लैंगलैंड्स अनुमान को श्रेणीबद्ध स्थानीय लैंगलैंड्स के संदर्भ में पुनर्गठित करने के लिए करता है और क्रमविनिमेय समूहों के लिए इस ढांचे को सत्यापित करता है, साथ ही sousperfectoid स्थानों पर चिकने उचित स्कीम्स (smooth proper schemes) के लिए एक GAGA प्रमेय भी सिद्ध करता है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि विषम अभाज्य संख्याओं का एक घनत्व-एक (density-one) उपसमुच्चय आंशिक रूप से नियमित (partially regular) है, जिसका अर्थ है कि उनके साइक्लोटोमिक क्षेत्र द्वारा निर्धारित एक सीमा में आइगेनस्पेस (eigenspaces) के लिए विशिष्ट लुप्त होने की स्थितियों (vanishing conditions) को संतुष्ट करते हैं, जो कि AxiomProver प्रणाली द्वारा स्वचालित रूप से उत्पन्न और Lean/Mathlib में पूर्णतः औपचारिक रूप दिया गया एक परिणाम है।
यह शोध पत्र के भीतर अंकगणितीय प्रगति (arithmetic progressions) में अभाज्य संख्याओं पर यूलर उत्पादों (Euler products) के लिए मर् टेंस के सूत्र (Mertens' formula) का एक फलन क्षेत्र तुलिका (function field analogue) स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि वेइल का रीमान परिकल्पना (Weil's Riemann hypothesis) अपवाद स्वरूप शून्य सुधार पदों (exceptional zero correction terms) की आवश्यकता के बिना GRH-शक्ति के एक अनंतस्पर्शी परिणाम (asymptotic result) की अनुमति देता है।