1774 पेपर
यह शोध पत्र माअस कस्प फॉर्म्स (Maass cusp forms) के लिए कंडीशनल क्वांटम वेरिएंस अनुमानों और अनकंडीशनल स्पेक्ट्रल एक्सपोनेंशियल सम बाउंड्स का उपयोग करते हुए, एक स्थानीय औसत का विश्लेषण करके, तीन-आयामी हाइपरबोलिक स्पेस पर कार्य करने वाले पिकर्ड ग्रुप (Picard group) के लिए हाइपरबोलिक लैटिस पॉइंट काउंटिंग समस्या में शेष पद (remainder term) के बाउंड्स में सुधार करता है।
यह शोध पत्र एक द्विघात रूप (quadratic form) का उपयोग करने वाली एक नवीन, ऐतिहासिक रूप से आधारित विधि प्रस्तुत करते हुए रीमान परिकल्पना का एक व्यापक 165-वर्षीय सर्वेक्षण प्रदान करता है, जो ज़ेटा फलन के शून्य (zeros) के अत्यधिक सटीक सन्निकटन उत्पन्न करती है, यह सिद्ध करती है कि वे क्रिटिकल लाइन पर स्थित हैं और एक नई ज्यामितीय प्रमाण रणनीति का सुझाव देती है।
यह शोध पत्र परिमेय संख्याओं, परिमित क्षेत्रों (finite fields) और p-एडिक क्षेत्रों पर हाइपरजियोमेट्रिक फलनों के बीजगणितीय और अंकगणितीय गुणों का विश्लेषण करने वाले एल्गोरिदम के SageMath कार्यान्वयन प्रस्तुत करता है, जिसमें बीजगणितीयता (algebraicity) का निर्णय लेना, मूल्यांकन (valuations) की गणना करना और धनात्मक अभिलक्षण (positive characteristic) में न्यूनतम बहुपद निर्धारित करने की क्षमताएं शामिल हैं।
रीमान परिकल्पना और रैखिक स्वतंत्रता अनुमान को मानते हुए, यह शोध पत्र स्थापित करता है कि कई लघु अंतरालों में अभाज्य संख्याओं की भारित गणना एक बहुभिन्नीय गाऊसी वितरण (multivariate Gaussian distribution) का अनुसरण करती है जिसमें कमजोर ऋणात्मक सहसंबंध होते हैं, जो एक तीक्ष्ण चरण संक्रमण (sharp phase transition) को प्रकट करता है जहाँ अंतराल की संख्या एक महत्वपूर्ण सीमा से अधिक होने पर पक्षपाती अभाज्य संख्या दौड़ (biased prime number races) उभरती है।
यह शोध पत्र रेडमेकर रैंडम मल्टीप्लिकेटिव फंक्शन्स के भारित योगों (weighted sums) के लिए लगभग निश्चित (almost sure) ऊपरी और निचली सीमाएँ स्थापित करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि उनकी वृद्धि मल्टीप्लिकेटिव केओस (multiplicative chaos) द्वारा नियंत्रित होती है और स्टाइनहास (Steinhaus) मामले से काफी भिन्न है, जबकि साथ ही बड़े अभाज्य गुणनखंडों वाले पूर्णांकों तक सीमित योगों के लिए एक अधिक सटीक सीमा भी प्रदान करता है।
यह शोध पत्र बड़े के लिए के क्षेत्र में रीमान -फलन के लॉग-डेरिवेटिव (log-derivative) के वास्तविक भाग की धनात्मकता की जांच करता है, जो क्रिटिकल लाइन ज़ीरोज़ (critical line zeros) पर योग के लिए एक स्पष्ट निचली सीमा प्रदान करता है और ऑफ-क्रिटिकल ज़ीरोज़ (off-critical zeros) से जुड़े काल्पनिक परिदृश्यों का विश्लेषण करता है।
यह शोध पत्र रीमान परिकल्पना (Riemann Hypothesis) की एक ऐसी तुल्यता प्रस्तावित करता है जो विभाजक-योग फलन (sum-of-divisors function) के शास्त्रीय अनंतस्पर्शी सीमा (asymptotic threshold) को पूर्णांक विभाजनों के यंग लैटिस (Young lattice) के भीतर संयोजन संबंधी सीमित अनुपातों से जोड़ती है।
यह शोध पत्र स्टर्लिंग और हार्मोनिक संख्याओं से युक्त बरनौली संख्याओं के लिए एक नया परिमित विविक्त कॉन्वोल्यूशन व्यंजक स्थापित करता है, जिसका उपयोग फिर अघो की पुनरावृत्ति को पुनः सिद्ध करने, एक नया पुनरावृत्ति संबंध व्युत्पन्न करने, संचयी योगों को डी-बरनौली संख्याओं के माध्यम से व्यक्त करने और बरनौली एवं यूलर संख्याओं के योगों के लिए सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए किया जाता है।
यह शोध पत्र एक नवीन सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी योजना प्रस्तावित करता है जो एक एफ़ाइन साइफर (Affine cipher) और कुंजी सहमति प्रोटोकॉल के भीतर सामान्यीकृत लुकास मैट्रिसेस (generalized Lucas matrices) का उपयोग करता है, जो पूर्ण मैट्रिसेस के बजाय केवल दो मापदंडों के आदान-प्रदान के माध्यम से ट्रांसमिशन जटिलता को काफी कम करता है और की-स्पेस (key space) का विस्तार करता है।
यह शोध पत्र आइजनस्टीन पूर्णांकों (Eisenstein integers), गॉस और जैकोबी योगों (Gauss and Jacobi sums) तथा घन पारस्परिकता के नियम (law of cubic reciprocity) का उपयोग करते हुए, फर्माट, यूलर, लेजेंड्रे, जैकोबी और आइजनस्टीन के योगदानों के माध्यम से उच्च पारस्परिकता नियमों के विकास और 2 के द्विघाती अभिलक्षण (quadratic character) पर ऐतिहासिक संदर्भ प्रदान करते हुए, घन सर्वांगसमता की समाधान योग्यता का अन्वेषण करता है।