तकनीकी सारांश: सामान्यीकृत लुकास मैट्रिसेस (Generalized Lucas Matrices) पर आधारित एक नवीन सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी

समस्या विवरण

यह शोध पत्र उन्नत पब्लिक की क्रिप्टोग्राफी स्कीम्स की आवश्यकता को संबोधित करता है जो संख्या सिद्धांत (number theory) और रैखिक बीजगणित (linear algebra) पर आधारित बड़े की-स्पेस (key spaces), कम ट्रांसमिशन जटिलता और सुदृढ़ सुरक्षा प्रदान करती हैं। जबकि मैट्रिक्स थ्योरी और रिकर्सिव अनुक्रमों (जैसे फाइबोनैची और लुकास अनुक्रमों) का उपयोग क्रिप्टोग्राफी (जैसे हिल साइफर, एलगामल) में किया गया है, मौजूदा विधियों में अक्सर बड़ी की-मैट्रिक्स का आदान-प्रदान शामिल होता है या वे मानक अनुक्रम गुणों पर निर्भर करती हैं। लेखक एक ऐसी प्रणाली का प्रस्ताव करते हैं जो की-समझौते (key agreement) के दौरान प्रसारित डेटा को न्यूनतम करती है जबकि सामान्यीकृत रिकर्सिव मैट्रिसेस के उपयोग के माध्यम से एन्क्रिप्शन की-स्पेस की जटिलता को अधिकतम करती है।

कार्यप्रणाली

1. गणितीय आधार

प्रस्तावित योजना का मूल आधार सामान्यीकृत फाइबोनैची मैट्रिसेस (GFM) से व्युत्पन्न सामान्यीकृत लुकास मैट्रिसेस (GLM) का निर्माण है।

• सामान्यीकृत फाइबोनैची मैट्रिसेस (GFM): लेखक $k$-वें क्रम के सामान्यीकृत फाइबोनैची अनुक्रम $\{f_{k,n}\}$ और उसके संगत मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व $Q^k_n$ का उपयोग करते हैं। ये मैट्रिसेस $Q^n_k Q^l_k = Q^{n+l}_k$ और क्रम $k$ पर आधारित विशिष्ट निर्धारक नियमों जैसे मानक गुणों को संतुष्ट करते हैं।
• सामान्यीकृत लुकास अनुक्रम: एक नया अनुक्रम $\{l_{k,n}\}$ परिभाषित किया गया है जहाँ प्रारंभिक मान पहले $k$ GFM मैट्रिसेस के ट्रेस (trace) से प्राप्त होते हैं ($l_{k,r} = \text{trace}(Q^r_k)$)। इसका पुनरावृत्ति संबंध (recurrence relation) सामान्यीकृत फाइबोनैची अनुक्रम के समान है: $l_{k,k+n} = \sum_{i=0}^{k-1} l_{k,k+n-1-i}$।
• सामान्यीकृत लुकास मैट्रिसेस (GLM): सामान्यीकृत लुकास अनुक्रम के पदों के रैखिक संयोजन का उपयोग करके एक रिकर्सिव मैट्रिक्स $L^{(n)}_k$ का निर्माण किया जाता है। लेखक GLM और GFM के बीच एक मौलिक संबंध स्थापित करते हैं:
  $$L^{(n)}_k = Q^n_k L^{(0)}_k = L^{(0)}_k Q^n_k$$
  जहाँ $L^{(0)}_k$ प्रारंभिक लुकास मैट्रिक्स है।

2. क्रिप्टोग्राफिक योजना

प्रस्तावित प्रणाली इन मैट्रिसेस को एक संशोधित एफाइन-हिल साइफर (Affine-Hill Cipher) के साथ एलगामल (ElGamal) पब्लिक की इंफ्रास्ट्रक्चर के साथ एकीकृत करती है।

• की-एक्सचेंज (एलगामल-आधारित):

  • प्राप्तकर्ता (बॉब): एक अभाज्य संख्या $p$, एक प्रिमिटिव रूट $\alpha$, और एक गुप्त पूर्णांक $D$ चुनता है। वह $E_1 = \alpha$ और $E_2 = \alpha^D \pmod p$ प्रकाशित करता है।
  • प्रेषक (एलिस): एक यादृच्छिक पूर्णांक $e$ चुनती है। वह एक सिग्नेचर $s = E_1^e \pmod p$ और एक साझा गुप्त $\lambda = E_2^e \pmod p$ की गणना करती है।
  • ट्रांसमिशन: एलिस सिफरटेक्स्ट और सिग्नेचर $s$ को बॉब को भेजती है। वह पूर्ण की-मैट्रिक्स या गुप्त $\lambda$ नहीं भेजती है।

• एन्क्रिप्शन (GLM के साथ एफाइन-हिल):

  • साझा गुप्त $\lambda$ (मैट्रिक्स का क्रम) और सिग्नेचर $s$ (एक्सपोनेंट) का उपयोग करके, एलिस एन्क्रिप्शन की-मैट्रिक्स $K = L^{(s)}_\lambda \pmod p$ का निर्माण करती है।
  • एक शिफ्ट वेक्टर $B$ को लुकास अनुक्रम के पदों का उपयोग करके बनाया जाता है: $B = [l_{\lambda,\lambda}, l_{\lambda,\lambda+1}, \dots, l_{\lambda,2\lambda-1}]$।
  • प्लेनटेक्स्ट ब्लॉक्स $P$ को इस प्रकार एन्क्रिप्ट किया जाता है: $C = (P \cdot K + B) \pmod p$।

• डिक्रिप्शन:

  • बॉब अपने निजी की (private key) का उपयोग करके $\lambda$ को पुनः प्राप्त करता है: $\lambda = s^D \pmod p$।
  • वह प्रतिवर्ती मैट्रिक्स (inverse matrix) $K^* = L^{(-s)}_\lambda H^{-1} \pmod p$ का निर्माण करता है, जहाँ $H = (L^{(0)}_\lambda)^2$ है। शोध पत्र सिद्ध करता है कि $L^{(s)}_\lambda L^{(-s)}_\lambda = H$, जो एक व्युत्क्रम (inverse) के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है।
  • डिक्रिप्शन इस प्रकार किया जाता है: $P = (C - B) \cdot K^* \pmod p$।

मुख्य योगदान

1. सामान्यीकृत लुकास मैट्रिसेस की परिभाषा: शोध पत्र $k$-क्रम के GLM को औपचारिक रूप से परिभाषित करता है और उनके बीजगणितीय गुणों, जिसमें निर्धारक सूत्र, गुणन नियम ($L^{(m)}_k L^{(n)}_k = L^{(m+n)}_k L^{(0)}_k$), और उनके व्युत्क्रम का स्पष्ट निर्माण शामिल है, स्थापित करता है।
2. पैरामीटर-आधारित की जनरेशन: पारंपरिक मैट्रिक्स-आधारित सिफर्स के विपरीत, जहाँ पूरी मैट्रिक्स को साझा या एक बड़े सीड से उत्पन्न करना होता है, यह योजना केवल दो मापदंडों का उपयोग करके की-मैट्रिक्स को दोनों पक्षों द्वारा पुनर्गठित करने की अनुमति देती है: $\lambda$ (डि्रीट लॉगरिदम समस्या से व्युत्पन्न) और $s$ (सिग्नेचर)।
3. एफाइन-हिल और एलगामल के साथ एकीकरण: लेखक एक हाइब्रिड योजना प्रस्तावित करते हैं जो एलगामल सेटअप में निहित डिस्क्रीट लॉगरिदम समस्या द्वारा सुरक्षित एफाइन-हिल साइफर (शिफ्ट वेक्टर के साथ ब्लॉक एन्क्रिप्शन) की दक्षता का उपयोग करती है।
4. व्युत्क्रम निर्माण (Inverse Construction): शोध पत्र मानक गॉसियन एलिमिनेशन पर निर्भर किए बिना GLM के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए एक विशिष्ट विधि प्रदान करता है, जो $Inv(L^{(n)}_k) = L^{(-n)}_k H^{-1}$ संबंध का उपयोग करता है।

परिणाम और विश्लेषण

• कार्यान्वयन उदाहरण: लेखक इस योजना को $p=37$, $k=3$ के साथ और $D$ तथा $e$ के विशिष्ट पूर्णांक मानों के साथ प्रदर्शित करते हैं। वे सफलतापूर्वक प्लेनटेक्स्ट "NOBLE2022" को सिफरटेक्स्ट ब्लॉक्स में एन्क्रिप्ट करते हैं और मूल संदेश को पुनः प्राप्त करते हैं, जिससे मैट्रिक्स ऑपरेशंस और मॉड्यूलर अंकगणित की गणितीय शुद्धता की पुष्टि होती है।
• जटिलता में कमी: यह योजना की-ट्रांसमिशन के लिए समय और स्थान की जटिलता को कम करने का दावा करती है। एक $n \times n$ मैट्रिक्स भेजने के बजाय, केवल $(\lambda, s)$ का जोड़ा साझा किया जाता है।
• सुरक्षा विश्लेषण:
  • डिस्क्रीट लॉगरिदम: $s$ से $\lambda$ को पुनः प्राप्त करने के लिए डिस्क्रीट लॉगरिदम समस्या को हल करना आवश्यक है, जो बड़े अभाज्य संख्याओं के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से असंभव है।
  • की-स्पेस: ब्रूट-फोर्स हमलों के विरुद्ध सुरक्षा जनरल लीनियर ग्रुप $|GL(\lambda)|$ के आकार पर निर्भर करती है। लेखक गणना करते हैं कि $p=37$ और $\lambda=50$ के लिए, की-स्पेस लगभग $3.105 \times 10^{3920}$ है, जो घातांकीय रूप से विशाल है।
  • सिग्नेचर स्वतंत्रता: विश्लेषण बताता है कि यदि सिग्नेचर $s$ ज्ञात भी हो, तो भी यह सुरक्षा से समझौता नहीं करता है क्योंकि सुरक्षा मुख्य रूप से $\lambda$ को निर्धारित करने की कठिनाई और $\lambda$ द्वारा परिभाषित मैट्रिक्स स्पेस की विशालता पर टिकी है।

महत्व और दावे

शोध पत्र निष्कर्ष निकालता है कि प्रस्तावित विधि अधिकृत पक्षों के लिए गणितीय रूप से सरल लेकिन मजबूत ढांचा प्रदान करती है, जबकि घुसपैठियों के लिए एक महत्वपूर्ण बाधा प्रस्तुत करती है। इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

• विस्तारित की-स्पेस: सामान्यीकृत लुकास मैट्रिसेस का उपयोग मानक कार्यान्वयन की तुलना में उपलब्ध की-स्पेस को काफी बढ़ाता है।
• दक्षता: केवल दो संख्याओं में की-ट्रांसमिशन को कम करके, यह योजना बैंडविड्थ और स्टोरेज के मामले में दक्षता में सुधार करती है।
• मजबूती: डिस्क्रीट लॉगरिदम समस्या (की-समझौते के लिए) और मैट्रिक्स संरचना की जटिलता (एन्क्रिप्शन के लिए) का संयोजन बहु-स्तरीय सुरक्षा बनाता है।

लेखक का दावा है कि यह विधि "अधिकृत पक्ष के लिए गणितीय रूप से सरल और घुसपैxit (intruder) के लिए कष्टदायक" है, जो डिस्क्रीट लॉगरिदम समस्या की स्थापित कठिनाई और सामान्यीकृत लुकास मैट्रिसेस के विशाल कॉम्बिनेटरियल स्पेस पर निर्भर करती है।