1726 पेपर
यह शोधपत्र संयुक्त अंकगणितीय फलनों और के वितरण की जांच करता है, जो पूर्व के अपवाद समुच्चय (exceptional set) के लिए मात्रात्मक सीमाएँ प्रदान करता है और यह सिद्ध करता है कि किसी भी निश्चित धनात्मक स्थिरांक के लिए उत्तर का अनंत घनत्व (asymptotic density) शून्य है।
यह शोध पत्र बर्गर के एक-आयामी रिजिडिटी प्रमेय (rigidity theorem) को उच्च आयामों तक विस्तारित करता है, यह सिद्ध करते हुए कि -एडिक पूर्णांकों पर सरल परिमित-ऊंचाई वाले औपचारिक समूह (formal groups) अपने -पावर टोरशन बिंदुओं द्वारा अद्वितीय रूप से निर्धारित होते हैं, जिसका अर्थ है कि ऐसे कोई भी दो समूह जो अनंत टोरशन बिंदुओं को साझा करते हैं, वे समान होंगे।
यह शोधपत्र 2 की घातों द्वारा प्रेरित द्विघाती ट्विस्ट्स (quadratic twists) का विश्लेषण करके, $2mn$ क्षेत्रफल वाले हेरोन त्रिभुजों से संबद्ध अण्डाकार वक्रों (elliptic curves) के 2-सेल्मर रैंक (2-Selmer rank) को स्पष्ट रूप से निर्धारित करता है, जिससे किसी भी वर्गमुक्त विषम पूर्णांक के लिए स्वेच्छा से बड़े 2-सेल्मर रैंक वाले ऐसे वक्रों के स्पष्ट परिवारों का निर्माण किया जाता है।
यह शोध पत्र व्यापक कम्प्यूटेशनल डेटा और नए अनुमानों के प्रतिपादन द्वारा समर्थित, परिमित वलय पर वीयरस्ट्रैस एलिप्टिक कर्व्स (Weierstrass elliptic curves) के वर्गीकरण की जांच करता है।
यह शोधपत्र यह स्थापित करता है कि परिमित क्षेत्र का एक गैर-तुच्छ अभिलक्षण (nontrivial character) उस गुण द्वारा विशिष्ट रूप से पहचाना जाता है जिसके द्वारा इसका फूरियर रूपांतरण में किसी बिंदु पर परिमाण 1 प्राप्त करता है, जिससे यह गौस के गौस योग (Gauss sums) के परिमाण पर आधारित प्रमेय का एक विलोम प्रदान करता है और यह प्रदर्शित करता है कि चरम फूरियर व्यवहार किस प्रकार गुणात्मक संरचना को लागू करता है।
यह शोध पत्र पूर्णांकों के रिंग से परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर बहुपद रिंगों (polynomial rings) तक gcd-ग्राफ के अध्ययन का विस्तार करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि ये ग्राफ समरूपता (isomorphism) और समप्रतिबंधता (isospectrality) के संबंध में विशिष्ट व्यवहार प्रदर्शित करते हुए भी समान गुणों को साझा करते हैं, जिसमें गैर-तुच्छ समरूप युग्मों (non-trivial isomorphic pairs) का अस्तित्व भी शामिल है।
यह शोधपत्र हेनसेलियन डिस्क्रीट वैल्युएशन रिंग्स पर वक्रों (curves) के लिए अंकगणितीय जनस (arithmetic genus) असमानता के नए वेरिएंट स्थापित करता है जो परिमेय या वास्तविक बिंदुओं की अनुपस्थिति को ध्यान में रखते हैं, और इन परिणामों को -गुना पुनरावृत्त वास्तविक लॉरेंट सीरीज़ (real Laurent series) पर एक जनस वाले वक्र के फलन क्षेत्र (function field) में पूर्णतः धनात्मक दो-वर्गों के योग (sum-of-two-squares) इंडेक्स को या द्वारा सीमित करने के लिए लागू करता है, जिससे एक पूर्व ज्ञात हाइपरएलिप्टिक परिणाम को सामान्य वक्रों तक विस्तारित किया जाता है।
यह शोध पत्र प्रोजेक्टिव टोरिक वैरायटीज़ पर मोनोमियल सेल्फ-मैप्स के डिग्री सीक्वेंस के जनरेटिंग सीरीज़ की जांच करता है, उनकी ट्रांसेंडेंस (transcendence) और नॉन-होलोनोमिटी (non-holonomicity) के लिए स्थितियाँ स्थापित करता है, और यह सिद्ध करता है कि, टोरिक सतहों के लिए, सीरीज़ का modulo में रिडक्शन (reduction) सभी को छोड़कर कुछ सीमित अभाज्य संख्याओं (primes) के लिए ट्रांसेंडेंटल है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि एक परिमित समूह के गैर-संयुग्मी (non-conjugate) उपसमूहों को किसी परिमित विस्तार में उनके पूर्व-प्रति-छवियों (pre-images) द्वारा अलग किया जा सकता है, जिससे यह प्रदर्शित होता है कि -कोसेट तुल्य (equivalent) उपसमूह आवश्यक रूप से समरूप (isomorphic) नहीं होते हैं और दीपेन्द्र प्रसाद द्वारा उठाए गए एक प्रश्न का उत्तर मिलता है।
यह शोध पत्र एक आवर्ती फलन और एक अपरिमेय घूर्णन द्वारा भारित एक स्टाइनहॉस रैंडम मल्टीप्लिकेटिव फंक्शन के सामान्यीकृत योगों के एक मानक जटिल गॉसियन वितरण की ओर अभिसरित होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति स्थापित करता है, जबकि यह प्रदर्शित करता है कि योगों को पर्याप्त बड़े अभाज्य गुणनखंडों वाले पूर्णांकों तक सीमित करना यह सुनिश्चित करता है कि एक केंद्रीय सीमा प्रमेय बिना किसी शर्त के लागू होता है।