1726 पेपर
यह शोध पत्र ग्राफ कलरिंग, संरचनात्मक लेम्मा (structural lemmas), सीव थ्योरी (sieve theory), मोबियस इन्वर्जन (Möbius inversion) और डिस्क्रीट फूरियर ट्रांसफॉर्म के संयोजन का उपयोग करके परस्पर विलग अवशेष वर्गों (pairwise disjoint residue classes) के माड्यूली (moduli) के अधिकतम महत्तम समापवर्तक (greatest common divisor) पर एक निचली सीमा स्थापित करता है।
यह शोध पत्र एक अवशेष क्षेत्र (residue field) पर स्मूथ स्कीम्स (smooth schemes) के लिए टेंपर्ड ट्यूबलर नेबरहुड्स (tempered tubular neighborhoods) और एक नई टेंपर्ड डी राम कोहोमोलॉजी (tempered de Rham cohomology) को परिभाषित करने के लिए व्युत्पन्न विश्लेषणात्मक ज्यामिति (derived analytic geometry) के ind-Banach ढांचे का उपयोग करता है, और अंततः स्मूथ प्रॉपर स्कीम्स (smooth proper schemes) के लिए क्रिस्टलीय कोहोमोलॉजी (crystalline cohomology) के साथ इसकी समानता को सिद्ध करते हुए p-adic विभेदक समीकरणों के स्थानांतरण प्रमेय (transfer theorem) के लिए एक स्वाभाविक निरंतरता व्याख्या प्रदान करता है।
यह शोध पत्र कंडक्टर-ड्रॉपिंग (conductor-dropping) शासन के भीतर समान भार वाले दो होलोमॉर्फिक हेके कस्प फॉर्म्स (holomorphic Hecke cusp forms) के कनवल्शन से जुड़े रेंकिन-सेल्बर्ग -फंक्शन्स के दूसरे मोमेंट (second moment) के लिए एक एसिम्प्टोटिक सूत्र स्थापित करता है।
यह शोध पत्र बुचस्टैब के फलन के लिए संख्यात्मक रूप से स्पष्ट और आसानी से मूल्यांकन योग्य ऊपरी और निचली सीमाएं स्थापित करता है, जिससे इसके परिभाषित विलंब अवकल समीकरण (delay differential equation) के संख्यात्मक समाधानों की आवश्यकता समाप्त हो जाती है।
यह शोध पत्र के उन क्रमपरिवर्तनों (permutations) की गणना करने के लिए एक उन्नत एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जिनके आंशिक योग (partial sums) विशिष्ट होते हैं, विशेष रूप से और के लिए परिणाम ज्ञात करता है, और साथ ही एक ज्ञात अनुक्रम (sequence) के साथ एक एकैकी संबंध (bijection) स्थापित करता है जो नए पदों की व्युत्पत्ति को सक्षम बनाता है।
यह शोधपत्र साइक्लोटोमिक और ऑर्बिटवाइज नॉर्मलाइजेशन के माध्यम से प्राइम भार्गवा फैक्टोरियल (prime Bhargava factorial) को इंटरपोलेट करने वाला एक कैनोनिकल ज़ीरो-फ्री एंटायर फंक्शन निर्मित करता है, जो इसके रिफ्लेक्शन लॉ (reflection law) को स्थापित करता है, एक सटीक प्राइम-लोकल एरर टर्म के साथ एक अनस्मूद्थ स्टर्लिंग फॉर्मूला (unsmoothed Stirling formula) व्युत्पन्न करता है, और इस एरर टर्म के वर्गों के योग के लिए एक कंडीशनल एसिम्प्टोटिक (conditional asymptotic) सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र ब्रिंगमैन, क्रेग, वैन इटर्सम और पांडे द्वारा प्रस्तुत मैकमहाोन-समान -श्रृंखलाओं के गुणांकों के लिए पूर्व में अनुमानित सभी सर्वांगसमताओं को सिद्ध करता है, साथ ही इसी प्रकृति के कई नए सर्वांगसमता संबंधों को भी स्थापित करता है।
यह शोधपत्र एटाले (étale) और बीजगणितीय (algebraic) समकक्षों का निर्माण करके, बिंदुवत (punctual) और सूक्ष्म रूप से मोटे (infinitesimally thickened) इवासावा मुख्य अनुमानों को सूत्रबद्ध करके, और एक अग्रणी पद सूत्र (leading term formula) स्थापित करके जो द्वितीयक -adic -फंक्शन्स के अवकलज को उच्च-क्रम के रेगुलेटर्स से जोड़ता है, आइजनकर्व (eigencurve) पर क्रिटिकल -adic -फंक्शन्स का एक व्यापक अंकगणितीय सिद्धांत विकसित करता है।
यह शोध प्रबंध यह स्थापित करता है कि एक चिकना प्लेन क्वार्टिक (smooth plane quartic) एक GIT-स्थिर मॉडल (GIT-stable model) तब स्वीकार करता है जब और केवल तभी जब इसका स्थिर न्यूनीकरण (stable reduction) गैर-हाइपरएलिप्टिक (non-hyperelliptic) हो, जो 1-टेल्स (1-tails) को संकुचित करने वाले एक रूपांतरण के माध्यम से GIT-स्थिर मॉडल की कस्पिडल विलक्षणताओं (cuspidal singularities) को हल करके स्थिर मॉडल की गणना करने के लिए एक ज्यामितीय ढांचा प्रदान करता है।
यह शोधपत्र गैलुआ क्रियाओं (Galois actions) वाले ऑब्जेक्ट्स के परिमित ट्विस्ट्स (finite twists) के लिए स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत (local-global principle) की जांच करता है, जिसमें एक परिमित टेट-शेफ़ेरेविच कोहोमोलॉजी सेट (finite Tate-Shafarevich cohomology set) को परिभाषित किया गया है जो स्थानीय रूप से परिभाषित ट्विस्ट्स को वैश्विक वर्ण (global character) द्वारा साकार करने की बाधा को नियंत्रित करता है, और विभिन्न विशिष्ट मामलों में इस सिद्धांत की वैधता को प्रदर्शित करता है।