1726 पेपर
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि सामान्यीकृत फर्मा समीकरणों के लिए, लगभग सभी अभाज्य संख्याओं हेतु -आदिक समाधान की प्रायिकता विशिष्ट महत्तम समापवर्तकों के एक परिमेय फलन द्वारा नियंत्रित होती है, जिससे इस निष्कर्ष पर पहुँचा जाता है कि यदि घातांक परस्पर सह-अभाज्य हैं, तो हर जगह स्थानीय रूप से समाधान वाले ऐसे समीकरणों का अनुपात धनात्मक होता है, अन्यथा शून्य होता है।
यह शोध पत्र शून्य अभिलक्षण वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों पर विशिष्ट अपरिमेय वक्रों (irreducible curves) पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र बिंदुओं के अस्तित्व को स्थापित करता है और इस परिणाम का उपयोग तक के ट्रांसेंडेंस डिग्री (transcendence degree) वाले ऐसे गैर-आर्किमिडियन वास्तविक बंद क्षेत्रों (non-Archimedean real closed fields) के निर्माण के लिए करता है जिनमें कोई गैर-तुच्छ ऑटोमॉर्फिज्म (non-trivial automorphisms) नहीं होते हैं।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करके दूसरे और तीसरे लेखकों के एक अनुमान को गलत सिद्ध करता है कि रिड्यूस्ड डी'आर्कैस (D'Arcais) बहुपदों का एक सकारात्मक अनुपात हुरwitz (Hurwitz) बहुपद नहीं है।
यह शोध पत्र शास्त्रीय शून्य-योग अपरिवर्तनीय (zero-sum invariant) की जांच करता है, जो एक परिमित एबेलियन समूह पर शून्य-योग मुक्त अनुक्रम (zero-sum free sequence) के लिए आवश्यक न्यूनतम लंबाई को निर्धारित करता है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि सभी लुप्त गैर-शून्य उप-अनुक्रम योग (nonzero subsequence sums) एक उपसमूह के उचित सहसमुच्चय (proper coset) के भीतर निहित हैं।
यह शोधपत्र एक विशिष्ट बिंदु पर गोलाकार बोरेल आइजनस्टीन श्रेणियों (spherical Borel Eisenstein series) के नियमितीकरण (regularization) के गैर-शून्य और वर्ग-समावेशी (square-integrable) होने को प्रदर्शित करके आर्थर की युनिटी अनुमान (Arthur's unitarity conjecture) का एक सरल, एकसमान प्रमाण प्रस्तुत करता है, जो केस-दर-केस विश्लेषण से बचने के लिए लैंगलैंड्स के मानदंड के ज्यामितीय व्याख्या और काज़दान एवं ओकुन्कोव के दर्शन का उपयोग करता है।
यह शोधपत्र यह प्रदर्शित करता है कि एक हार-रैंडम (Haar-random) सममित p-एडिक आव्यूह के ऊपरी-बाएँ कोनों के कर्नल्स (kernels) की प्रक्रिया, जिन्हें सममित युग्मन (symmetric pairings) के साथ अबेलियन समूहों के रूप में देखा जाता है, एक प्रतिवर्ती मार्कोव श्रृंखला (reversible Markov chain) बनाती है जिसे एक स्पष्ट रूप से वर्णित ऑपरेटर द्वारा उत्पन्न किया जाता है जो एक कोहेन-लेंस्ट्र (Cohen-Lenstra) प्रकार के माप को संरक्षित करता है।
यह शोध पत्र एक परिमित विस्तार पर स्थित क्वाटरनियन बीजगणित के अधिकतम गणक (maximal order) की इकाइयों के सुचारू रैखिक अभरित्रों (smooth linear characters) के साथ एक पत्राचार स्थापित करके, ड्रिंफेल्ड के -adic ऊपरी अर्ध-तल पर समाकलनीय संयोजन (integrable connection) वाले टोरशन -इक्विवेरिएंट (equivariant) लाइन बंडलों का निर्माण और वर्गीकरण करता है।
यह शोध पत्र पूर्णतः वास्तविक क्षेत्रों (totally real fields) पर मॉड्यूलर विधि के साथ-साथ वीक फ्रे फ्राय-मेज़ुर (Weak Frey–Mazur) और आइचलर-शिमुरा (Eichler–Shimura) अनुमानों का उपयोग करता है, ताकि यह प्रदर्शित किया जा सके कि एक निश्चित अभाज्य के लिए, पर्याप्त रूप से बड़े होने पर, के रूप वाले अनंत समीकरणों के कोई गैर-तुच्छ मूल (non-trivial primitive) पूर्णांक समाधान नहीं होते हैं।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि एक ऐसे क्षेत्र (field) पर, जिसका अभिलक्षण (characteristic) 2 नहीं है, ऑर्थोगोनल या सिम्प्लेक्टिक इनवोल्यूशन वाले अधिकतम सूचकांक (index) 2 के टोटली डिकम्पोजेबल बीजगणितों (totally decomposable algebras) के लिए प्रोपर प्रोजेक्टिव सिमिलिट्यूड्स (proper projective similitudes) का समूह R-ट्रिवियल (R-trivial) है, जबकि एक प्रति-उदाहरण प्रदान करता है जो यह दर्शाता है कि ऑर्थोगोनल मामले में यह गुण सूचकांक 4 के लिए विफल हो जाता है।
यह शोधपत्र क्रमिक अत्यधिक संहत संख्याओं (highly composite numbers) के बीच भूगणीय पथों (geodesic paths) के अनुदिश विभाजक फलन व्यवहार की जांच करता है, जो सामान्यीकृत पथ क्षमता के लिए का एक सार्वभौमिक निम्नतम मान सिद्ध करता है और साथ ही यह भी प्रदर्शित करता है कि एक पूर्व अनुमानित स्थिर सीमा विशिष्ट बड़े पूर्णांकों पर विफल हो जाती है, जिसे तक के व्यापक कंप्यूटर-सहायता प्राप्त गणना द्वारा समर्थित किया गया है।