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यह शोध पत्र उनके इंटीग्रल मॉडल्स की ज्यामिति और कोहोमोलॉजी का विश्लेषण करके, गैर-वर्ग-मुक्त (गहरे) स्तरों वाले श्टुका के मॉडुलि स्पेस (moduli spaces of shtukas) के लिए युन-झांग फंक्शन फील्ड एनालॉग के ग्रॉस-ज़िग्लर और वाल्डस्पर्गर सूत्रों का सामान्यीकरण करता है।
यह शोध पत्र न्यूनतम नियमित मॉडल न्यूनीकरण प्रकारों, नेरॉन घटक समूहों, कंडक्टर घातांकों, विविक्तकर मानों और क्लस्टर चित्रों सहित प्रमुख अंकगणितीय इनवेरियंट्स को सारांशित करने वाली व्यापक तालिकाओं को प्रदान करके जेनस 2 वक्रों के लिए टेट के एलिप्टिक कर्व न्यूनीकरण प्रकारों के वर्गीकरण का विस्तार करता है।
यह शोध पत्र यह सिद्ध करता है कि एक वक्र के अपने जैकोबियन के स्व-गुणनफल के भीतर -गुना स्व-गुणनफलों के लिए ज़िल्बर-पिंक अनुमान (Zilber–Pink conjecture) सत्य है, जो इस शर्त के अंतर्गत कि में विशिष्ट खराब रिडक्शन (bad reduction) है, उसके जैकोबियन में अतिरिक्त एंडोमॉर्फिज्म (endomorphisms) का अभाव है, और पर्याप्त रूप से छोटा है, जिसमें कैट्ज़, रबीनोफ़ और ज़ुरिक-ब्राउन द्वारा विकसित स्पष्ट मानिन-ममफोर्ड सीमाओं (Manin–Mumford bounds) पर आधारित प्रमाण रणनीति का उपयोग किया गया है।
यह शोध पत्र उन क्यूब-मुक्त (cubefree) पूर्णांकों के लिए के साइक्लोटोमिक -विस्तार के भीतर समीकरण की समाधान योग्यता की जांच करता है जो परिमेय घन (rational cubes) के योग नहीं हैं, यह प्रदर्शित करते हुए कि ऐसे पूर्णांकों को के कुछ बड़े अभाज्य चक्रीय विस्तारों में दो घनों के योग के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
यह शोध पत्र एक इंटीग्रल क्रिस्टलाइन फंक्टर (integral crystalline functor) का निर्माण करता है जो में Hodge–Tate weights वाले प्रिसमैटिक -gauges और Fontaine–Laffaille modules के बीच एक तुल्यता स्थापित करता है, जिससे Breuil–Kisin modules के माध्यम से -डिवाज़िबल समूहों के वर्गीकरण और प्रिसमैटिक Dieudonné सिद्धांत के बीच संबंध स्पष्ट होता है।
यह शोध पत्र एबेलियन -पावर विस्तारों पर एलिप्टिक कर्व्स से जुड़े माज़ुर-टेट तत्वों के इवासावा इनवेरियंट्स (Iwasawa invariants) के लिए किडा के सूत्र (Kida's formula) का एक सादृश्य स्थापित करता है, जो शून्य -इनवेरियंट्स के संरक्षण को प्रदर्शित करता है और -इनवेरियंट्स के लिए स्पष्ट ट्रांज़िशन सूत्रों को प्रदान करता है जो सभी रिडक्शन प्रकारों (reduction types) में -एडिक -फंक्शन्स के पिछले परिणामों को एकीकृत और विस्तारित करते हैं।
यह शोधपत्र सीव वेट्स (sieve weights) के एक कैंसिलेशन प्रॉपर्टी (cancellation property) पर आधारित एक सरलीकृत सीव इनइक्वालिटी (sieve inequality) प्रस्तुत करता है, जो बहुत छोटे अंतराल के भीतर अभाज्य संख्याओं और लगभग-अभाज्य संख्याओं (almost-primes) के वितरण का विश्लेषण करने के लिए विशेष रूप से प्रभावी है।
यह शोध पत्र नेवियर-स्टोक्स टर्बुलेंस के अंकगणितीय स्थिर बिंदुओं के रूप में परिमित यूलर एन्सेम्बल्स (finite Euler ensembles) के लियापुनोव स्पेक्ट्रम (Lyapunov spectrum) की गणना करता है, जो यह प्रकट करता है कि स्थिरता विसंगति (parity) क्षेत्रों पर निर्भर करती है जहाँ सम शून्य-विंडिंग मोड (even zero-winding modes) अस्थिर होते हैं, जबकि विषम और छिद्रित सम क्षेत्र (odd and punctured even sectors) रिमान ज़ेटा फलन (Riemann zeta function) से जुड़े एक लुप्त अंकगणितीय किनारे द्वारा नियंत्रित सीमांत स्थिरता प्रदर्शित करते हैं।
यह शोधपत्र एक सरलीकृत प्रमाण प्रस्तुत करता है कि सममित बहु-जीटा मान (symmetric multiple zeta values) संपूर्ण बहु-जीटा मानों के स्थान को उत्पन्न करते हैं, इन मानों को उनके सममित रूपों और उनके उत्पादों के संदर्भ में व्यक्त करने के लिए एक एल्गोरिदम प्रदान करता है, और गहराई तीन के सममित तथा परिमित बहु-जीटा मानों पर नए परिणाम प्रस्तुत करता है।
यह शोधपत्र एक अभाज्य क्षेत्र (prime field) में एक सघन प्रोग्रेशन-मुक्त (progression-free) समुच्चय के यादृच्छिक एफाइन प्रतिबिंब (random affine image) के निर्माण और उसके बाद कोलैप्स्ड ट्रिपल्स (collapsed triples) को हटाने की प्रक्रिया के माध्यम से, के उस उपसमुच्चय के अधिकतम आकार के लिए एक नया निचला स्तर (lower bound) स्थापित करता है जिसमें कोई भी भिन्न हार्मोनिक ट्रिपल्स (distinct harmonic triples) नहीं हैं।