1730 पेपर
यह शोध पत्र हाइपरएलिपिक वक्रों और परिमित क्षेत्रों पर अभाज्य अभिलक्षणों (prime characters) से जुड़े द्विघाती डिरिचलेट एल-फंक्शन्स (Dirichlet L-functions) के परिवारों में शून्यों के -स्तरीय घनत्व के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त करने हेतु मेसन और स्नेथ ढांचे को अनुकूलित करता है, जो 1-स्तरीय घनत्व के पिछले परिणामों के साथ निरंतरता की पुष्टि करता है।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि -वें मूलों (roots of unity) के गैर-शून्य योगों को द्वारा ऊपर से सीमित किया जा सकता है, जहाँ घातांक , के साथ बढ़ता है, और आगे के एक सकारात्मक अनुपात के लिए बेहतर सीमाओं की जांच करता है।
यह शोध पत्र प्रदर्शित करता है कि बड़े जीनस (genus) की यादृच्छिक हाइपरबोलिक सतहों पर, के मॉड्युलो में होमोलॉजी वर्गों (homology classes) में बंद जियोडेसिक्स (closed geodesics) के भारित गणना फलन (weighted counting function) का विचरण (variance) स्पर्शोन्मुख रूप से के रूप में स्केल करता है (जहाँ के लिए कारक दो है), जो कि अभाज्य संख्याओं के लिए हूली (Hooley) के अनुमान से भिन्न है और जिसे परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर फलन क्षेत्रों (function fields) के साथ एक सादृश्य के माध्यम से समझाया गया है।
यह शोध पत्र बहुपद मानों पर मूल्यांकित यादृच्छिक गुणात्मक फलनों (random multiplicative functions) के योग के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेयों (central limit theorems) को स्थापित करता है, जो कि समीकरण के एक पूर्ण वर्ग होने के समाधानों की संख्या में एक अल्पता घटना (paucity phenomenon) को सिद्ध करके किया गया है, जिसमें हूली (Hooley), एवर्टसे-सिल्वरमैन (Evertse–Silverman) और रयूस (Reuss) के परिणामों का लाभ उठाया गया है, जहाँ सबसे सटीक अनुमान पेल्स-फर्मेट सिद्धांत (Pell–Fermat theory) के माध्यम से द्विघात बहुपदों के लिए प्राप्त किए गए हैं।
यह शोध पत्र शास्त्रीय क्रॉस-अनुपात (cross-ratio) को प्रोजेक्टिव स्पेस में तलों (planes) के विन्यासों के लिए सामान्यीकृत करता है, जो इस ज्यामितीय अपरिवर्तनीय (invariant), जटिल संख्याओं पर ऊंचाई युग्मों (height pairings) और विविक्त मान वाले क्षेत्रों (discretely valued fields) पर प्रतिच्छेदन डिग्री के बीच एक मौलिक संबंध स्थापित करता है ताकि क्षयकारी समग्र फलन (degenerating holomorphic families) के स्पर्शोन्मुखी व्यवहार को अभिलक्षणित किया जा सके।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि किसी भी आदिम (प्रिमिटिव) अपर्याप्त (नॉन-डेफिशिएंट) संख्या के लिए, कम से कम एक अभाज शक्ति घटक (प्राइम पावर कॉम्पोनेंट), उस संख्या के मूलक (रेडिकल) और उसके विशिष्ट अभाज कारकों की संख्या के दोगुने के गुणनफल द्वारा सीमित होता है, जबकि यह अनुमान लगाता है कि इस सीमा को केवल मूलक के दोगुने तक कड़ा किया जा सकता है।
यह शोध पत्र अवशेष क्षेत्र (residue field) पर एक नवीन आयाम-गणना पद्धति (dimension-counting method) को प्रस्तुत करते हुए हेन्सेल न्यूनतम संरचनाओं (Hensel minimal structures) में परिभाषित ट्रांसेंडेंटल वक्रों के लिए एक पिला-विलकी प्रकार का प्रमेय स्थापित करता है ताकि इष्टतम डियाफैंटाइन सीमाओं (Diophantine bounds) को प्राप्त किया जा सके।
यह शोध पत्र अंकगणितीय समूहों (arithmetic groups) के अपरिमेय बीजगणितीय निरूपणों (irreducible algebraic representations) में गुणांकों के साथ विविक्त समूहों (discrete groups) के परिवारों के लिए एक समान होमोलॉजिकल स्टेबिलिटी प्रमेय (uniform homological stability theorem) स्थापित करता है, जहाँ स्थिर सीमा (stable range) निरूपण से स्वतंत्र है, जिससे फंक्शन फील्ड्स पर क्वाड्रेटिक -फंक्शंस के सभी मोमेंट्स के लिए कॉनरे-फार्मर-कीटिंग-रुबिनस्टीन-स्नेथ (Conrey–Farmer–Keating–Rubinstein–Snaith) की भविष्यवाणियों की पुष्टि होती है।
यह शोध पत्र बहुपदीय गुणांकों वाले 1,883 निरंतर भिन्नों (continued fractions) का एक व्यापक डेटाबेस प्रस्तुत करता है, जिसमें दिलचस्प स्थिरांकों और अपरिमेय फलनों (transcendental functions) के लिए 1,600 से अधिक नए प्रविष्टियाँ शामिल हैं, जो सीधे इस शोध पत्र के लैटेक्स (LaTeX) सोर्स कोड के भीतर प्रदान की गई हैं।
यह शोध पत्र पर पावर मैप्स (power maps) के साथ उनके पुनरावृत्ति (iteration) को जोड़कर, परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर डिकसन बहुपदों (Dickson polynomials) की आवधिकता (periodicity) और गतिशील प्रणालियों (dynamical systems) की जांच करता है, जिससे सटीक अवधियों का निर्धारण, क्रमपरिवर्तक (permutation) और गैर-क्रमपरिवर्तक मामलों में उनके संयोजन समूहों (composition groups) का लक्षण वर्णन, और नई पहचान एवं समरूपता गुणों की स्थापना की जाती है।