1730 पेपर
यह शोध पत्र एडम्स-नोविकोव स्पेक्ट्रल सीक्वेंस में विभाजित बीटा परिवार (divided beta family) से जुड़े मॉड्यूलर रूपों के लिए एक तीक्ष्ण मानदंड स्थापित करके, जो मॉड्यूलर कर्व्स पर सुपरसिंगुलर बिंदुओं के एक ज्यामितीय गुण से व्युत्पन्न है, सभी अभाज्य के लिए लार्सन की अनुमानित समस्या (Larson's conjecture) को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र ग्रॉस (Gross) के 2000 के उस अनुमान (conjecture) को सिद्ध करता है जिसके अनुसार पर क्वाटरनियोनिक मॉड्यूलर रूपों (quaternionic modular forms) के फूरियर गुणांक (Fourier coefficients), क्यूबिक ट्विस्ट्स (cubic twists) के -मानों को समाहित करते हैं, जो विशेष रूप से उस स्थिति के लिए है जहाँ संबद्ध मॉड्यूलर रूप डायहेड्रल (dihedral) होते हैं, जिससे इस परिघटना के पहले ज्ञात उदाहरण प्राप्त होते हैं।
यह शोध पत्र पादे एप्रोक्सिमेंट्स (Padé approximants) के एक समान निर्माण और सामान्यीकृत व्रोंस्कियन (generalized Wronskians) के लिए एक नवीन गैर-शून्य तर्क को प्रस्तुत करके, जटिल और -आदिक दोनों परिवेशों में पिछले निष्कर्षों का विस्तार और सुदृढ़ीकरण करते हुए, सामान्य संख्या क्षेत्रों (general number fields) पर कई भिन्न बीजगणितीय बिंदुओं पर सामान्यीकृत हाइपरजियोमेट्रिक फलनों के मानों के लिए नए रैखिक स्वतंत्रता परिणाम स्थापित करता है।
यह शोध पत्र जटिल और p-adic दोनों परिवेशों में परिमेय मापदंडों वाले लॉरिसेला हाइपरजियोमेट्रिक श्रेणी के मानों के लिए एक नया रैखिक स्वतंत्रता मानदंड स्थापित करता है, जो एबेलियन समाकल (Abelian integrals) पर हर्मिट के शास्त्रीय परिणामों का विस्तार करने के लिए स्पष्ट पाडे-प्रकार (Padé-type) के सन्निकटन का उपयोग करता है।
यह शोध पत्र शास्त्रीय फूरियर विश्लेषण, संयोजन संबंधी संख्या सिद्धांत (combinatorial number theory), और वॉन मंगलड्ट फलन के हीथ-ब्राउन मॉडलों के लिए महत्वपूर्ण -अनुमानों के साथ उच्च-क्रम फूरियर विश्लेषण के एक नवीन संश्लेषण का उपयोग करते हुए, फलनों के लिए अभाज्य समयों के अनुदिश भारित एर्गोडिक औसत (weighted ergodic averages) के लगभग हर जगह अभिसरण को सिद्ध करके, अंकगणितीय अनुक्रमों के लिए वीनर-विंटनर प्रमेय के पहले विस्तार को स्थापित करता है।
यह शोध पत्र जैकोबी प्रतीकों (Jacobi symbols) से संबंधित एक पुनर्गठन और एक कॉम्बिनेटरियल पहचान (combinatorial identity) के माध्यम से, जिसे AxiomProver सिस्टम द्वारा सत्यापित किया गया है और Lean में औपचारिक रूप दिया गया है, एक पूर्ववर्ती सशर्त संख्या-सिद्धांत संबंधी परिकल्पना को सिद्ध करके शून्य और एक जीनस (genus) वाली रीमैन सतहों (Riemann surfaces) पर -डिफरेंशियल की स्पिन पैरिटी (spin parity) स्थापित करता है।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि एक -adic क्षेत्र पर एक दीर्घवृत्तीय वक्र (elliptic curve) के -टॉर्सन उपसमूह को -निर्देशांकों के बीच -adic दूरियों पर आधारित एक दूरी फलन (distance function) से सुसज्जित करके, एक वक्र के कोडिरा प्रकार (Kodaira type) को अद्वितीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है, जिससे शास्त्रीय नेरॉन-ओग-शाफारेविच मानदंड (Neron-Ogg-Shafarevich criterion) की सीमाओं को पार किया जा सकता है।
यह मानते हुए कि अंकगणितीय प्रगति में प्रथम अभाज्य संख्या पर एक सुदृढ़ अनुमान (conjecture) है, यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि किसी भी पूर्णांक और किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए, जहाँ और विपरीत समता (parity) हो, तक कम से कम ऐसे -कार्माइकल संख्याएँ (Carmichael numbers) विद्यमान हैं, जिनमें पदों का महत्तम समापवर्तक निश्चित है, जो यह दर्शाता है कि ऐसी संख्याओं का निर्माण के साथ बढ़ते हुए के बजाय एक सीमित के साथ किया जा सकता है।
यह शोधपत्र यह प्रदर्शित करता है कि सम्मिश्र क्षेत्र (complex field) पर, एक विशिष्ट परिष्कृत हम्बर्ट इनवेरिएंट (Humbert invariant) के रैंक 3 को साझा करने वाले सभी मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन सतह (principally polarized abelian surfaces) गैलवा संयुग्मी (Galois conjugated) हैं।
यह शोध पत्र यह प्रदर्शित करता है कि पूर्णांक विभाजनों (integer partitions) से संबंधित कई पहचानों को, जो आमतौर पर बीजगणितीय जनरेटिंग फलनों (algebraic generating functions) का उपयोग करके सिद्ध की जाती हैं, जैविक विधियों (bijective methods) के माध्यम से अधिक सरलता से स्थापित किया जा सकता है।