1730 पेपर
यह शोध पत्र प्रस्तावित करता है कि ब्लैक होल माइक्रोस्टेट गणनाएँ और उनके कॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी द्वैत, गॉसियन लॉग-कोरिलेटेड फील्ड्स की विशिष्ट चरम मान सांख्यिकी (extreme value statistics) प्रदर्शित करते हैं, जिससे फ्योदोरोव-हियारी-कीटिंग अनुमान के एक होलोग्राफिक सूत्रीकरण के माध्यम से अर्ध-शास्त्रीय AdS गुरुत्वाकर्षण पथ समाकल (semiclassical AdS gravitational path integral) के विभेदन पर एक मात्रात्मक सीमा स्थापित होती है।
यह शोध पत्र वास्तविक ली बीजगण (real Lie algebras) पर एंडोस्कोपिक ट्रांसफर के अस्तित्व को स्थापित करता है और यह सिद्ध करता है कि यह विशुद्ध रूप से स्थानीय विधियों का उपयोग करके फूरियर रूपांतरण (Fourier transform) के साथ संलग्नीकरण (commute) करता है।
यह शोध पत्र में बंद कक्षाओं (closed orbits) के विशिष्ट अनुवादों (translates) और एक अधिकतम पैराबोलिक उपसमूह (maximal parabolic subgroup) के बीच प्रतिच्छेदों की संयुक्त सम-वितरण (joint equidistribution) को स्थापित करता है, जिससे यह सिद्ध होता है कि घन तुल्यगणों (cubic congruences) के मूलों से व्युत्पन्न अफ़ाइन जालक (affine lattices), संबद्ध पूर्णांक वलय (ring of integers) में संगत आदर्शों (ideals) के साथ संयुक्त रूप से सम-वितरित हैं।
यह शोध पत्र स्थापित करता है कि एक संख्या क्षेत्र (number field) पर एक एबेलियन वैराइटी के नेरॉन मॉडल (Néron model) का एटाली फंडेमेंटल ग्रुप (étale fundamental group), एक परिमित समूह और पूर्णांकों के रिंग के एटाली फंडेमेंटल ग्रुप का एक सेमीडायरेक्ट प्रोडक्ट है, जो मेरेल के टोरशन प्रमेय (Merel's torsion theorem) के माध्यम से एलिप्टिक कर्व्स के लिए उस परिमित समूह के आकार पर एक समान सीमा सिद्ध करता है और पर एलिप्टिक कर्व्स के लिए एक पूर्ण वर्गीकरण प्रदान करता है।
यह शोध पत्र बिना शर्त माध्य मान प्रमेय (unconditional mean value theorems) स्थापित करता है और यह सिद्ध करता है कि ट्विस्टेड और -फंक्शन्स के कम से कम शून्य क्रिटिकल लाइन पर स्थित हैं, जो कि एक परिष्कृत, समान एसिम्प्टोटिक लार्ज सीव (Asymptotic Large Sieve) विकसित करने द्वारा किया गया है जो सामान्यीकृत रमनुजन अनुमान (Generalized Ramanujan Conjecture) पर निर्भरता से बचता है।
यह शोधपत्र यह स्थापित करता है कि -स्मूथ संख्याओं पर कैरेक्टर समों (character sums) का औसत परिमाण उन संख्याओं की गणना के वर्गमूल से काफी छोटा है, विशेष रूप से बाउंड प्राप्त करते हुए, जब मॉड्यूल , के सापेक्ष पर्याप्त रूप से बड़ा हो और एक विशिष्ट मध्यवर्ती सीमा के भीतर हो।
यह शोध पत्र लेकेक्सु (Lecacheux) क्विंटिक क्षेत्रों के पोल्या समूहों (Pólya groups) की जांच करता है, जो यह प्रदर्शित करता है कि उनकी रैंक धनात्मक घनत्व वाले अनिश्चित रूप से बड़े प्रारंभिक अबेलियन 5-समूह हो सकते हैं, जो इन क्षेत्रों के एक सकारात्मक अनुपात के लिए अनंत 5-क्लास फील्ड टावरों के अस्तित्व को निहित करता है, जबकि साथ ही पोल्या संख्याओं के लिए ऊपरी सीमाएं स्थापित करता है और विशिष्ट मामलों के लिए गैर-मोनोजेनिटी (non-monogeneity) को सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र पांचवें मूलों (fifth roots of unity) के गैर-शून्य योगों के न्यूनतम निरपेक्ष मान को निर्धारित करता है और इस समस्या को स्वर्णिम अनुपात (golden ratio) के परिमेय सन्निकटन से संबंधित असमानताओं में घटाकर इन योगों को अभिलक्षणित करता है, जिससे यह प्रकट होता है कि न्यूनतम मान विशिष्ट फाइबोनैकी और लुकास संख्याओं पर छलांग लगाने के साथ निरंतर गैर-बढ़ता (monotone non-increasing) है।
विस्तारित रीमान परिकल्पना (Extended Riemann Hypothesis) को मानते हुए, यह शोधपत्र विशिष्ट गैलुआ मॉड्यूल के लिए अभाज्य चक्रीय विस्तारों (prime cyclic extensions) में सेल्मर रैंकों (Selmer ranks) के वितरण का विश्लेषण करता है, और अभिलक्षणिक रूप से रामिफाइड अभाज्य गुणनफल द्वारा क्रमबद्ध एलिप्टिक, सुपर-एलिप्टिक और हाइपर-एलिप्टिक वक्रों में रैंक परिवर्तनों के लिए संभाव्य सीमाएँ व्युत्पन्न करता है।
यह शोध पत्र बैरियर-समायोजित पेरोन इंटीग्रल्स (barrier-adjusted Perron integrals) और विशिष्ट कैरेक्टर सम एवेरेजेस (character sum averages) की तुलना करने वाली एक नवीन विधि के माध्यम से, सामान्य मल्टीप्लिकेटिव वेट्स वाले शॉर्ट डिरिचलेट कैरेक्टर सम्स (short Dirichlet character sums) और संबंधित ज़ेटा सम्स (zeta sums) के लो मोमेंट्स (low moments) के लिए शार्प लोअर बाउंड्स (sharp lower bounds) स्थापित करता है, जो पूर्व में ज्ञात अपर बाउंड्स से मेल खाते हैं।