1730 पेपर
यह शोध पत्र अख्तारी और भार्गव द्वारा किए गए एक निर्माण को परिष्कृत करता ताकि यह प्रदर्शित किया जा सके कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक के लिए, 2 से अधिक निश्चित घात वाले थ्यू समीकरणों का एक धनात्मक अनुपात, सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए एक साथ इंटीग्रल हासे सिद्धांत (integral Hasse principle) को विफल करता है।
गैर-मानक गणितीय विश्लेषण और पेपिस-कलमार युग्मन फलन (Pepis-Kalmar pairing function) पर आधारित एक द्वि-आयामी आव्यूह का उपयोग करते हुए, यह शोध पत्र प्रस्तावित करता है कि मर्सेनी संख्याओं (Mersenne numbers) का प्राकृतिक घनत्व विषम संख्याओं के व्युत्क्रमों के अनंत योग के व्युत्क्रम के तुल्य एक सूक्ष्म मान (infinitesimal value) है।
यह शोध पत्र एक परिमित क्षेत्र (फिनिट फील्ड) पर वक्रों के कवरिंग से जुड़े सापेक्ष वर्ग समूह (रिलेटिव क्लास ग्रुप) के घातांक के लिए एक नया निचला स्तर (लोअर बाउंड) स्थापित करता है, जो प्रोजेक्टिव लाइन के मामले में स्टिचटोथ के मौजूदा परिणामों में सुधार करता है और वास्तव में सापेक्ष स्थितियों के लिए ऐसे पहले बंध प्रदान करता है।
यह शोध पत्र एक संख्यात्मक क्षेत्र (number field) पर एक संबद्ध रैखिक बीजगणितीय समूह (connected linear algebraic group) के वर्गीकरण स्टैक (classifying stack) के लिए ब्रेअर-मैनिन अवरोध (Brauer-Manin obstruction) के साथ सुदृढ़ सन्निकटन (strong approximation) स्थापित करता है, जिससे सटीक स्थितियाँ निर्धारित होती हैं जिनके अंतर्गत स्थानीय -टर्सर (local -torsors) को एक वैश्विक एक (global one) द्वारा सन्निकटित किया जा सकता है।
यह शोध पत्र फलन के लिए एक क्लोज्ड-फॉर्म जनरेटिंग फंक्शन व्युत्पन्न करता है, जो एंड्रयूज और घोष दस्तिदार के हालिया कार्य का विस्तार करते हुए मोड्यूलो 4 और 8 के नए आंतरिक सर्वांगसमताओं (congruences) की खोज को सक्षम बनाता है।
यह शोध-पत्र सिमपलीशियल शंकुओं (simplicial cones) के एक चेइन कॉम्प्लेक्स और की मिलिनर K-थ्योरी के वेट- गेरस्टन कॉम्प्लेक्स (Gersten complex) के ट्रेस-फिक्स्ड भाग के बीच एक -इक्विवेरिएंट आइसोमॉर्फिज्म स्थापित करता है, जिससे शंकु बीजगणित (cone algebras) के ग्रेडेड टुकड़ों और स्टाइनबर्ग मॉड्यूल (Steinberg modules) के बीच के संबंध के माध्यम से चार्लटन, राडचेंको और रुडेन्को के एक परिणाम को परिष्कृत किया जाता है।
यह शोध पत्र लीन (Lean) प्रूफ़ असिस्टेंट में -सीरीज सिद्धांत के औपचारिकीकरण को प्रस्तुत करता है, जो जैकोबी ट्रिपल प्रोडक्ट सूत्र और रोजर्स-रामानुजन पहचानों के पूर्णतः सत्यापित प्रमाण प्रदान करने के लिए बीजगणितीय और विश्लेषणात्मक गुणों के सामंजस्य में निहित आधारभूत चुनौतियों का समाधान करता है, जिससे मॉड्यूलर फॉर्म और संबंधित क्षेत्रों में भविष्य के कार्य के लिए एक कठोर कम्प्यूटेशनल आधार स्थापित होता है।
सू के कोहेन-प्रकार के आइजनस्टीन श्रेणियों पर आधारित कार्य से प्रेरित होकर, यह शोध पत्र क्वार्टिक सीएम क्षेत्रों (quartic CM fields) के माध्यम से परिभाषित सामान्यीकृत हूर्विट्ज़ क्लास संख्याओं (generalized Hurwitz class numbers) को प्रस्तुत करता है ताकि नैरो क्लास नंबर एक वाले वास्तविक द्विघाती क्षेत्रों पर हिल्बर्ट कस्प रूपों (Hilbert cusp forms) के लिए एक आइचलर-सेलबर्ग ट्रेस फॉर्मूला स्थापित किया जा सके, और तत्पश्चात वितरणों का अध्ययन करने, क्लास नंबर संबंधों को सिद्ध करने और हेके ऑपरेटर ट्रेसेस की गणना करने के लिए इस ढांचे को लागू करता है।
यह शोध पत्र शून्य-योग अपरिवर्तनीयता (zero-sum invariants) के अध्ययन का विस्तार करते हुए उन परिमित एबेलियन समूहों का वर्गीकरण करता है जहाँ डैवेनपोर्ट स्थिरांक (Davenport constant) न्यूनतम रूप से प्रस्तुत किया गया है और परिमित एवं अनंत दोनों प्रकार के एबेलियन समूहों के लिए भारित शून्य-योग स्थिरांकों और कर्नेल-कवर कॉम्पैक्टनेस गुणों के बीच एक पत्राचार स्थापित करता है।
यह शोध पत्र p-adic क्षेत्रों (जहाँ ) पर p-adic Schottky समूह द्वारा यूनिफॉर्माइज्ड हाइपरएलिप्टिक Mumford वक्रों की गणना करने के लिए एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है और SageMath में कार्यान्वित संख्यात्मक उदाहरणों के साथ p-adic अबेलियन समाकल (Abelian integrals) और श्नाइडर ऊंचाई (Schneider heights) की गणना में उनके अनुप्रयोग को प्रदर्शित करता है।