Calculating the natural density of Mersenne numbers using nonstandard mathematical analysis

यहाँ गेन्नेडी एरेमिन (Gennady Eremin) के शोध पत्र का सरल भाषा और रोज़मर्रा के उदाहरणों के साथ अनुवाद दिया गया है।

मुख्य प्रश्न: मेर्सेंस संख्याएँ (Mersenne Numbers) कितनी "भीड़भाड़" वाली हैं?

कल्पना कीजिए कि आपके पास लोगों की एक अनंत कतार है जिनका नंबर 0, 1, 2, 3, और इसी तरह आगे बढ़ रहा है। यह सभी प्राकृतिक संख्याओं (natural numbers) का समूह है। अब, इस कतार में से कुछ विशिष्ट लोगों को चुनिए: मेर्सेंस संख्याएँ (0, 1, 3, 7, 15, 31...)। ये वे संख्याएँ हैं जो दो की किसी भी घात (power of two) से एक कम होती हैं।

गणितज्ञों लंबे समय से यह सोच रहे हैं: यदि आप इस कतार के एक बहुत बड़े हिस्से को देखें, तो उसमें मेर्सेंस संख्याओं का प्रतिशत क्या होगा?

• क्या यह 50% है? (जैसे सम संख्याएँ होती हैं)।
• क्या यह 10% है?
• या यह इतना कम है कि प्रभावी रूप से शून्य (zero) है?

लंबे समय तक, यह एक अनसुलझा रहस्य बना रहा। यह शोध पत्र दावा करता है कि उसने नॉनस्टैंडर्ड एनालिसिस (Nonstandard Analysis) नामक गणित के एक विशेष प्रकार का उपयोग करके इसे हल कर लिया है।

उपकरण: एक विशाल स्प्रेडशीट (मैट्रिक्स)

इसे हल करने के लिए, लेखक केवल संख्याओं की एक अकेली रेखा को नहीं देखता। वह एक विशाल, दो-आयामी स्प्रेडशीट (मैट्रिक्स) बनाता है जिसमें प्रत्येक प्राकृतिक संख्या ठीक एक बार शामिल है। कोई डुप्लिकेट नहीं, कोई छूटी हुई संख्या नहीं।

वह इस स्प्रेडशीट को व्यवस्थित करने के लिए एक चतुर नियम (पेपिस-कलमार पेयरिंग फंक्शन) का उपयोग करता है:

• पंक्तियाँ (Rows - क्षैतिज): ये सरल अंकगणितीय पैटर्न हैं। यदि आप किसी भी एक पंक्ति को देखते हैं, तो संख्याएँ समान अंतराल पर होती हैं।
• स्तंभ (Columns - ऊर्ध्वाधर): ये दिलचस्प हिस्सा हैं। प्रत्येक स्तंभ एक सम संख्या (जिसे "रूट" कहा जाता है) से शुरू होता है और फिर अगली संख्या उत्पन्न करने के लिए एक विशिष्ट नियम का पालन करता है: 2 से गुणा करें और 1 जोड़ें।
  • उदाहरण: 0 से शुरू करें। अगला है $2(0)+1 = 1$। अगला है $2(1)+1 = 3$। अगला है $2(3)+1 = 7$।
  • यह संख्याओं का एक "पेड़" बनाता है जो ऊपर की ओर बढ़ता है। सबसे पहला स्तंभ मेर्सेंस संख्याएँ है। अगला स्तंभ थैबिट (Thabit) संख्याओं का एक समान परिवार है, और इसी तरह आगे भी।

"नॉनस्टैंडर्ड" मोड़: अनंत और अतिसूक्ष्म (Infinite and Infinitesimal)

मानक गणित आमतौर पर सीमाओं (limits) से निपटता है (शून्य की ओर बढ़ना)। यह शोध पत्र नॉनस्टैंडर्ड एनालिसिस का उपयोग करता है, जो "अनंत रूप से छोटे" और "अनंत रूप से बड़े" नंबरों को वास्तविक, निश्चित मानों के रूप में मानता है।

इसे ऐसे समझें:

• अनंत रूप से बड़ा ($\omega$): एक ऐसी संख्या की कल्पना करें जो इतनी बड़ी है कि वह किसी भी उस संख्या से बड़ी है जिसे आप गिन सकते हैं।
• अतिसूक्ष्म ($\epsilon$ - Infinitesimal): एक ऐसी संख्या की कल्पना करें जो इतनी छोटी है कि वह किसी भी भिन्न (fraction) से भी छोटी है जिसे आप लिख सकते हैं, लेकिन यह शून्य नहीं है। यह एक संख्या का "भूतिया साया" (ghost) है।

गणना: समीकरण को संतुलित करना

लेखक अपने स्प्रेडशीट के स्तंभों में "घनत्व" (density - यानी संख्याएँ कितनी घनी हैं) को देखता है।

1. पंक्तियाँ आसान हैं: यदि आप पंक्तियों को देखते हैं, तो गणित सरल है। पहली पंक्ति का घनत्व 1/2 है, दूसरी का 1/4, तीसरी का 1/8, और इसी तरह। यदि आप इन सबको जोड़ते हैं ($1/2 + 1/4 + 1/8...$), तो आपको ठीक 1 प्राप्त होता है। यह तर्कसंगत है क्योंकि पूरी स्प्रेडशीट सभी संख्याओं का 100% प्रतिनिधित्व करती है।

2. स्तंभ कठिन हैं:

   • पहला स्तंभ (मेर्सेंस संख्याएँ) इतना विरल (sparse) है कि इसका घनत्व एक अतिसूक्ष्म (infinitesimal) संख्या है। मान लीजिए कि यह छोटा सा मान $\epsilon$ है।
   • दूसरा स्तंभ (थैबिट संख्याएँ) और भी विरल है। इसका घनत्व $\epsilon / 3$ है।
   • तीसरा स्तंभ और भी विरल है: $\epsilon / 5$।
   • चौथा: $\epsilon / 7$।
   • और इसी तरह, अनंत तक।

लेखक का तर्क है कि यदि आप प्रत्येक स्तंभ के घनत्व को जोड़ते हैं, तो आपको वापस 1 मिलना चाहिए (क्योंकि स्तंभ सभी प्राकृतिक संख्याओं को कवर करते हैं)।

इसलिए, वह यह समीकरण सेट करता है:
$$1 = \epsilon + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{5} + \frac{\epsilon}{7} + \dots$$

यदि आप $\epsilon$ को कॉमन (factor out) लेते हैं, तो यह ऐसा दिखता है:
$$1 = \epsilon \times \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots \right)$$

निष्कर्ष

कोष्ठक के अंदर का भाग सभी विषम संख्याओं (odd numbers) के व्युत्क्रमों (reciprocals) का योग है ($1 + 1/3 + 1/5...$)। मानक गणित में, यह योग अनंत (infinity) की ओर जाता है। इस पेपर के नॉनस्टैंडर्ड दृष्टिकोण में, यह योग एक अनंत रूप से बड़ी संख्या है, जिसे लेखक $\omega$ कहता है।

तो समीकरण बनता है:
$$1 = \epsilon \times \omega$$

मेर्सेंस संख्याओं के घनत्व ($\epsilon$) को खोजने के लिए, आप बस 1 को उस विशाल संख्या से विभाजित करते हैं:
$$\epsilon = \frac{1}{\omega}$$

इसका क्या अर्थ है?

यह पेपर दो मुख्य बातें दावा करता है:

1. घनत्व शून्य नहीं है। क्योंकि $\epsilon$ एक विशिष्ट, गैर-शून्य अतिसूक्ष्म (non-zero infinitesimal) संख्या है, मेर्सेंस संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के सेट में एक "सकारात्मक" (यद्यपि अविश्वसनीय रूप से सूक्ष्म) घनत्व के साथ मौजूद हैं।
2. सटीक मान। घनत्व ठीक से सभी विषम संख्याओं के व्युत्क्रमों के योग का व्युत्क्रम (reciprocal) है।

सरल शब्दों में: लेखक ने सभी संख्याओं को व्यवस्थित करने के लिए एक विशाल ग्रिड बनाया। उन्होंने पाया कि हालांकि मेर्सर्ने संख्याएँ अत्यंत दुर्लभ हैं (इतनी दुर्लभ कि उनका घनत्व एक "अतिसूक्ष्म" संख्या है), फिर भी वे अस्तित्वहीन नहीं हैं। उनकी "दुर्लभता" विषम भिन्नों के अनंत योग के विरुद्ध गणितीय रूप से संतुलित होकर ठीक 1 के बराबर होती है।

नोट: यह पेपर इसे विशिष्ट नॉनस्टैंडर्ड गणितीय उपकरणों का उपयोग करते हुए एक सैद्धांतिक समाधान के रूप में प्रस्तुत करता है। यह क्रिप्टोग्राफी या कंप्यूटर विज्ञान के उपयोगों जैसे व्यावहारिक अनुप्रयोगों पर चर्चा नहीं करता है, बल्कि पूरी तरह से इस सैद्धांतिक संख्या सिद्धांत (number theory) की पहेली को हल करने पर केंद्रित है।