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Calculating the natural density of Mersenne numbers using nonstandard mathematical analysis

该论文通过使用非标准数学分析以及基于佩皮斯-卡玛配对函数的二维矩阵，提出梅森数的自然密度是一个无穷小值，该值等价于奇数倒数之和的倒数。

原作者： Gennady Eremin

发布于 2026-07-07

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原作者： Gennady Eremin

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

以下是关于 Gennady Eremin 论文的解释，已将其翻译成通俗易懂的语言，并使用了日常类比。

核心问题：梅森数有多“拥挤”？

想象你有一条无限长的队伍，编号为 0, 1, 2, 3, 4……以此类推。这就是所有自然数的集合。现在，从这条队伍中挑选出一组特定的成员：梅森数（0, 1, 3, 7, 15, 31...）。这些数字是 2 的幂次减 1。

数学家们长期以来一直在思考一个问题：如果你观察这条队伍中极其庞大的一段，其中梅森数的占比是多少？

是 50% 吗？（就像偶数那样）
是 10% 吗？
还是说它微小到实际上可以视为零？

长期以来，这一直是一个未解之谜。这篇论文声称利用一种称为**非标准分析（Nonstandard Analysis）**的特殊数学方法解决了这个问题。

工具：一张巨大的电子表格（矩阵）

为了解决这个问题，作者不仅仅是观察单一的数字线。他构建了一个巨大的二维电子表格（矩阵），其中包含了每一个自然数且仅包含一次。没有重复，也没有遗漏。

他使用了一种巧妙的排序规则（皮皮斯-卡尔马配对函数，Pepis-Kalmar pairing function）来组织这个电子表格：

行（水平方向）： 这些是简单的算术模式。如果你观察任何一行，数字之间的间距都是均匀的。
列（垂直方向）： 这是有趣的部分。每一列都以一个偶数（“根”）开始，然后遵循特定规则生成下一个数字：乘以 2 再加 1。
- 例子： 从 0 开始。下一个是 $2(0)+1 = 1$ 。下一个是 $2(1)+1 = 3$ 。下一个是 $2(3)+1 = 7$ 。
- 这创造了一个向上生长的数字“树”。第一列正是梅森数。下一列是类似的家族，被称为萨比特数（Thabit numbers），以此类推。

“非标准”的转折：无穷大与无穷小

标准数学通常处理的是极限（趋近于零）。而这篇论文使用的是非标准分析，它将“无穷小”和“无穷大”视为实际存在的、固定的数值。

可以这样理解：

无穷大 ( $\omega$ )： 想象一个如此巨大的数字，它比你能数到的任何数字都要大。
无穷小 ( $\epsilon$ )： 想象一个如此微小的数字，它比你能写出的任何分数都要小，但它不是零。它是数字的一个“幽灵”。

计算过程：平衡方程

作者观察了表格中各列的“密度”（即数字的拥挤程度）。

行很容易计算： 如果你观察这些行，数学逻辑很简单。第一行的密度是 1/2，第二行是 1/4，第三行是 1/8，依此类推。如果你把这些全部加起来（ $1/2 + 1/4 + 1/8...$ ），你会得到正好等于 1。这很合理，因为整个表格代表了 100% 的所有数字。
列比较复杂：
- 第一列（梅森数）非常稀疏，其密度是一个无穷小量。我们把这个微小的量称为 $\epsilon$ 。
- 第二列（萨比特数）更加稀疏。它的密度是 $\epsilon / 3$ 。
- 第三列更稀疏： $\epsilon / 5$ 。
- 第四列： $\epsilon / 7$ 。
- 如此循环，永无止境。

作者认为，如果把所有列的密度相加，必须回到 1（因为这些列覆盖了所有的自然数）。

因此，他设定了这样一个方程：
$1 = \epsilon + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{5} + \frac{\epsilon}{7} + \dots$

如果我们把 $\epsilon$ 提取出来，它看起来像这样：
$1 = \epsilon \times \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots \right)$

结论

括号中的部分是所有奇数倒数的和（ $1 + 1/3 + 1/5...$ ）。在标准数学中，这个和会趋向于无穷大。而在本文的非标准视角下，这个和是一个无穷大的数，作者称之为 $\omega$ 。

所以方程变为：
$1 = \epsilon \times \omega$

要找到梅森数的密度（ $\epsilon$ ），你只需要用 1 除以那个巨大的数字：
$\epsilon = \frac{1}{\omega}$

这意味着什么

该论文声称了两点主要内容：

密度并非为零。 因为 $\epsilon$ 是一个特定的、非零的无穷小量，梅森数在自然数集合中具有“正”的（尽管极其微小的）密度。
确切的数值。 其密度恰好是所有奇数倒数之和的倒数。

简单来说： 作者构建了一个巨大的网格来组织所有数字。他发现，虽然梅森数极其罕见（罕见到其密度是一个“无穷小量”），但它们并非不存在。它们的“稀有度”在数学上与所有奇数分数的无穷大之和相互平衡，最终等于 1。

注：该论文将其作为使用特定非标准数学工具的理论解决方案进行展示。它并未讨论实际应用（如密码学或计算机科学用途），而是专注于纯粹解决这一理论数论难题。

技术摘要：利用非标准分析计算梅森数的自然密度

问题陈述
本文探讨了数论中一个长期存在的开放问题：确定梅森数（Mersenne numbers）在非负整数集（ $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$ ）中的自然密度。具体而言，作者研究了该密度是零还是一个正值。虽然标准分析表明随着范围的增加，该密度趋于零，但本文试图利用非标准数学分析来解决这一极限的本质。

方法论
作者采用了结合组合数论与非标准分析的双重方法：

通过 Pepis-Kalmar 配对构造矩阵：
作者构造了一个包含所有不重复非负整数的二维矩阵 $\mathbb{M}$ 。该矩阵使用 Pepis-Kalmar 配对函数生成：
$f(x, y) = (2x + 1) \times 2^y - 1$
- 结构： $x$ 轴代表偶数（从 0 开始）， $y$ 轴代表序列的深度。
- 列（梅森树）： 每一列对应一个特定的 $x$ $x$ 值，并形成一个“一元树”（或称梅森树），其项由递推关系 $t' = 2t + 1$ $t^{'} = 2 t + 1$ 生成。
  - 第一列（ $x=0$ ）包含梅森数（ $2^y - 1$ ）。
  - 第二列（ $x=1$ ）包含萨比特数（Thabit numbers，即 $3 \times 2^y - 1$ ）。
  - 后续列遵循模式 $(2x+1) \times 2^y - 1$ 。
- 唯一性： 作者证明了该矩阵中的所有项都是唯一的，从而确保了该矩阵对自然数集 $\mathbb{N}$ 进行了划分。
非标准分析框架：
本文利用非标准分析，引入了将无穷小量 ( $\epsilon$ ) 和无穷大量 ( $\omega$ ) 作为常数而非变量的实际概念。
- 行：每行（算术级数）的自然密度被计算为其公差的倒数（ $1/2, 1/4, 1/8, \dots$ ）。这些密度的总和等于 1，这与 $\mathbb{N}$ 的密度一致。
- 列：作者分析了各列的密度。对于第一列（梅森数），其密度记为无穷小量 $\epsilon$ 。对于后续列（ $x=1, 2, \dots$ ），其密度被推导为 $\epsilon/3, \epsilon/5, \dots$ ，对应于奇数因子 $(2x+1)$ 。

主要贡献与结果
本文的主要贡献在于推导出了一个将梅森数的自然密度与奇数倒数之和联系起来的具体方程。

密度推导： 通过对矩阵中所有列的密度进行求和，作者将总密度等同于 1（即 $\mathbb{N}$ 的密度）。由此得到方程：
$1 = \epsilon + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{5} + \frac{\epsilon}{7} + \dots = \epsilon \times \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots\right)$
$\omega$ 的定义： 括号中的项被识别为 $\omega$ ，即所有奇数倒数的和，在非标准分析中，这是一个无穷大的值。
主方程： 该关系被形式化为：
$\epsilon \times \omega = 1 \quad \text{或} \quad \epsilon = \frac{1}{\omega}$
定理 2： 本文得出结论，梅森数的自然密度 ( $\epsilon$ ) 与奇数倒数之和的倒数 ( $1/\omega$ ) 是等价的无穷小量。

意义与主张
本文声称通过证明密度为正（非零），解决了关于梅森数自然密度的开放问题。

正定性证明： 作者认为，如果 $\epsilon$ 为零，则所有列密度的总和将为零，这与矩阵覆盖了所有自然数（密度为 1）的事实相矛盾。因此， $\epsilon$ 必须是一个正的无穷小量。
具体确定： 在承认梅森数的分布密度在传统数学中是未知的条件下，本文断言在非标准分析框架内，已获得了一个用于确定该密度的“具体方程”。
等价性： 该结果确立了梅森数的密度与奇数调和级数发散项的倒数之间的等价关系，将两者均视为非标准数系统内特定的、非零的无穷小量。

本文并未提出超出所呈现的数学推导之外的实验应用或未来扩展。其意义严格限定在利用非标准分析工具解决梅森数密度这一理论问题的语境之下。