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Calculating the natural density of Mersenne numbers using nonstandard mathematical analysis

Utilizando el análisis matemático no estándar y una matriz bidimensional basada en la función de emparejamiento de Pepis-Kalmar, el artículo propone que la densidad natural de los números de Mersenne es un valor infinitesimal equivalente al recíproco de la suma infinita de los recíprocos de los números impares.

Autores originales: Gennady Eremin

Publicado 2026-07-07

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CC BY 4.0

Autores originales: Gennady Eremin

Artículo original bajo licencia CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Esta es una explicación generada por IA del artículo a continuación. No ha sido escrita ni avalada por los autores. Para mayor precisión técnica, consulte el artículo original. Leer descargo de responsabilidad completo

La gran pregunta: ¿Qué tan "concurridos" son los números de Mersenne?

Imagine que tiene una línea infinente de personas numeradas 0, 1, 2, 3, y así sucesivamente. Este es el conjunto de todos los números naturales. Ahora, seleccione un grupo específico de personas de esta línea: los números de Mersenne (0, 1, 3, 7, 15, 31...). Estos son números que son uno menos que una potencia de dos.

Los matemáticos se han preguntado durante mucho tiempo: Si observas un fragmento enorme de esta línea, ¿qué porcentaje de las personas son números de Mersenne?

¿Es el 50%? (Como los números pares).
¿Es el 10%?
¿O es tan diminuto que es efectivamente cero?

Durante mucho tiempo, esto fue un misterio sin resolver. Este artículo afirma resolverlo utilizando un tipo especial de matemática llamada Análisis No Estándar.

La herramienta: Una hoja de cálculo gigante (La Matriz)

Para resolver esto, el autor no solo mira una simple línea de números. Construye una gigante y bidimensional hoja de cálculo (una matriz) que contiene cada uno de los números naturales exactamente una vez. Sin duplicados, sin números faltantes.

Utiliza una regla de clasificación ingeniosa (la función de emparejamiento de Pepis-Kalmar) para organizar esta hoja de cálculo:

Las Filas (Horizontal): Son patrones aritméticos simples. Si observa cualquier fila individual, los números están espaciados uniformemente.
Las Columnas (Vertical): Esta es la parte interesante. Cada columna comienza con un número par (la "raíz") y luego sigue una regla específica para generar el siguiente número: Multiplicar por 2 y sumar 1.
- Ejemplo: Comience con 0. El siguiente es $2(0)+1 = 1$ . El siguiente es $2(1)+1 = 3$ . El siguiente es $2(3)+1 = 7$ .
- Esto crea un "árbol" de números creciendo hacia arriba. La primera columna es los números de Mersenne. La siguiente columna es una familia similar llamada números Thabit, y así sucesivamente.

El giro "No Estándar": Infinito e Infinitesimal

La matemática estándar suele tratar con límites (acercarse a cero). Este artículo utiliza el Análisis No Estándar, que trata los números "infinitamente pequeños" e "infinitamente grandes" como valores reales y fijos.

Piense en esto como:

Infinitamente Grande ( $\omega$ ): Imagine un número tan grande que es más grande de lo que cualquier número que pueda contar.
Infinitesimal ( $\epsilon$ ): Imagine un número tan pequeño que es más pequeño que cualquier fracción que pueda escribir, pero no es cero. Es el "fantasma" de un número.

El Cálculo: Equilibrando la Ecuación

El autor observa la "densidad" (qué tan concurridos están los números) en las columnas de su hoja de cálculo.

Las Filas son Fáciles: Si observa las filas, la matemática es simple. La primera fila tiene una densidad de 1/2, la segunda 1/4, la tercera 1/8, y así sucesivamente. Si suma todos estos ( $1/2 + 1/4 + 1/8...$ ), obtiene exactamente 1. Esto tiene sentido porque toda la hoja de cálculo representa el 100% de los números.
Las Columnas son Difíciles:
- La primera columna (números de Mersenne) es tan dispersa que su densidad es un número infinitesimal. Llamemos a esta cantidad diminuta $\epsilon$ .
- La segunda columna (números Thabit) es aún más dispersa. Su densidad es $\epsilon / 3$ .
- La tercera columna es aún más dispersa: $\epsilon / 5$ .
- La cuarta: $\epsilon / 7$ .
- Y así sucesivamente, para siempre.

El autor argumenta que si suma la densidad de cada una de las columnas, debe obtener de vuelta 1 (porque las columnas cubren todos los números naturales).

Así que establece esta ecuación:
$1 = \epsilon + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{5} + \frac{\epsilon}{7} + \dots$

Si factoriza el pequeño $\epsilon$ , se ve así:
$1 = \epsilon \times \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots \right)$

La Conclusión

La parte entre paréntesis es la suma de los recíprocos de todos los números impares ( $1 + 1/3 + 1/5...$ ). En la matemática estándar, esta suma tiende al infinito. En la visión no estándar de este artículo, esta suma es un número infinitamente grande, que el autor llama $\omega$ .

Entonces la ecuación se convierte en:
$1 = \epsilon \times \omega$

Para encontrar la densidad de los números de Mersenne ( $\epsilon$ ), simplemente divide 1 por ese número enorme:
$\epsilon = \frac{1}{\omega}$

Qué significa esto

El artículo afirma dos cosas principales:

La densidad NO es cero. Debido a que $\epsilon$ es un número infinitesimal específico y no nulo, los números de Mersenne existen en el conjunto de los números naturales con una densidad "positiva" (aunque increíblemente diminuta).
El valor exacto. La densidad es exactamente el recíproco de la suma de los recíprocos de todos los números impares.

En términos simples: El autor construyó una cuadrícula gigante para organizar todos los números. Encontró que, aunque los números de Mersenne son increíblemente raros (tan raros que su densidad es un "infinitesimal"), no son inexistentes. Su "rareza" se equilibra matemáticamente con la suma infinita de las fracciones impares para igualar exactamente 1.

Nota: El artículo presenta esto como una solución teórica utilizando herramientas matemáticas no estándar específicas. No discute aplicaciones prácticas, como usos en criptografía o ciencias de la computación, sino que se centra puramente en resolver este acertijo teórico de la teoría de números.

Resumen Técnico: Cálculo de la Densidad Natural de los Números de Mersenne mediante el Análisis Matemático No Estándar

Planteamiento del Problema
El artículo aborda un problema abierto de larga data en la teoría de números: determinar la densidad natural de la secuencia de los números de Mersenne dentro del conjunto de los enteros no negativos ( $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$ ). Específicamente, el autor investiga si esta densidad es cero o un valor positivo. Mientras que el análisis estándar sugiere que la densidad tiende a cero a medida que el rango aumenta, el artículo busca resolver la naturaleza de este límite utilizando el análisis matemático no estándar.

Metodología
El autor emplea un enfoque de dos vertientes que combina la teoría de números combinatoria y el análisis no estándar:

Construcción de Matriz mediante el Emparejamiento de Pepis-Kalmar:
El autor construye una matriz bidimensional $\mathbb{M}$ que contiene todos los enteros no negativos sin repetición. Esta matriz se genera mediante la función de emparejamiento de Pepis-Kalmar:
$f(x, y) = (2x + 1) \times 2^y - 1$
- Estructura: El eje $x$ representa los números pares (empezando desde 0) y el eje $y$ representa la profundidad de la secuencia.
- Columnas (Árboles de Mersenne): Cada columna corresponde a un valor $x$ $x$ específico y forma un "árbol unario" (o árbol de Mersenne) donde los términos se generan mediante la recurrencia $t' = 2t + 1$ $t^{'} = 2 t + 1$ .
  - La columna inicial ( $x=0$ ) contiene los números de Mersenne ( $2^y - 1$ ).
  - La segunda columna ( $x=1$ ) contiene los números de Thabit ( $3 \times 2^y - 1$ ).
  - Las columnas subsiguientes siguen el patrón $(2x+1) \times 2^y - 1$ .
- Unicidad: El autor demuestra que todos los términos en esta matriz son únicos, asegurando que la matriz particiona el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ .
Marco de Análisis No Estándar:
El artículo utiliza el análisis no estándar, el cual introduce cantidades infinitesimales ( $\epsilon$ ) e infinitamente grandes ( $\omega$ ) reales como números constantes en lugar de variables.
- Filas: Se calcula la densidad natural de cada fila (una progresión aritmética) como el inverso de su diferencia común ( $1/2, 1/4, 1/8, \dots$ ). La suma de estas densidades es igual a 1, lo cual es consistente con la densidad de $\mathbb{N}$ .
- Columnas: El autor analiza la densidad de las columnas. Para la columna inicial (números de Mersenne), la densidad se denota como un infinitesimal $\epsilon$ . Para las columnas subsiguientes ( $x=1, 2, \dots$ ), las densidades se derivan como $\epsilon/3, \epsilon/5, \dots$ , correspondientes a los factores impares $(2x+1)$ .

Contribuciones Clave y Resultados
La contribución principal es la derivación de una ecuación específica que relaciona la densidad natural de los números de Mersenne con la suma de los recíprocos de los números impares.

Derivación de la Densidad: Al sumar las densidades de todas las columnas en la matriz, el autor iguala la densidad total a 1 (la densidad de $\mathbb{N}$ ). Esto produce la ecuación:
$1 = \epsilon + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{5} + \frac{\epsilon}{7} + \dots = \epsilon \times \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots\right)$
Definición de $\omega$ : El término entre paréntesis se identifica como $\omega$ , la suma de los recíprocos de todos los números naturales impares, que es un valor infinitamente grande en el análisis no estándar.
La Ecuación Principal: La relación se formaliza como:
$\epsilon \times \omega = 1 \quad \text{o} \quad \epsilon = \frac{1}{\omega}$
Teorema 2: El artículo concluye que la densidad natural de los números de Mersenne ( $\epsilon$ ) y el recíproco de la suma de los recíprocos de los números naturales impares ( $1/\omega$ ) son números infinitesimales equivalentes.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma resolver el problema abierto sobre la densidad natural de los números de Mersenne al probar que la densidad es positiva (no nula).

Prueba de Positividad: El autor argumenta que si $\epsilon$ fuera cero, la suma de las densidades de las columnas sería cero, lo que contradice el hecho de que la matriz cubre todos los números naturales (densidad = 1). Por lo tanto, $\epsilon$ debe ser un infinitesimal positivo.
Determinación Concreta: Aunque reconoce que la densidad de distribución de los números de Mersenne es tradicionalmente desconocida en las matemáticas estándar, el artículo afirma haber obtenido una "ecuación concreta" para determinar esta densidad dentro del marco del análisis no estándar.
Equivalencia: El resultado establece una equivalencia entre la densidad de los números de Mersenne y el recíproco de la serie armónica divergente de los números impares, tratando ambos como valores infinitesimales específicos y no nulos dentro del sistema de números no estándar.

El artículo no propone aplicaciones experimentales ni extensiones futuras más allá de la derivación matemática presentada. El significado se enmarca estrictamente en el contexto de resolver la cuestión teórica de la densidad de los números de Mersenne utilizando las herramientas del análisis no estándar.