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Calculating the natural density of Mersenne numbers using nonstandard mathematical analysis

Unter Verwendung nichtstandardmäßiger mathematischer Analyse und einer zweidimensionalen Matrix basierend auf der Pepis-Kalmar-Paarungsfunktion schlägt die Arbeit vor, dass die natürliche Dichte von Mersenne-Zahlen ein infinitesimaler Wert ist, der dem Kehrwert der unendlichen Summe der Kehrwerte ungerader Zahlen entspricht.

Ursprüngliche Autoren: Gennady Eremin

Veröffentlicht 2026-07-07

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CC BY 4.0

Ursprüngliche Autoren: Gennady Eremin

Originalarbeit lizenziert unter CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dies ist eine KI-generierte Erklärung des untenstehenden Papers. Sie wurde nicht von den Autoren verfasst oder gebilligt. Für technische Genauigkeit konsultieren Sie das Originalpaper. Vollständigen Haftungsausschluss lesen

Die große Frage: Wie „voll“ sind die Mersenne-Zahlen?

Stellen Sie sich eine unendliche Reihe von Menschen vor, die mit 0, 1, 2, 3 und so weiter nummeriert sind. Dies ist die Menge aller natürlichen Zahlen. Wählen Sie nun eine bestimmte Gruppe von Menschen aus dieser Reihe heraus: die Mersenne-Zahlen (0, 1, 3, 7, 15, 31...). Dies sind Zahlen, die eins weniger als eine Zweierpotenz sind.

Mathematiker fragen sich schon lange: Wenn man einen riesigen Abschnitt dieser Reihe betrachtet, welchen Prozentsatz der Menschen stellen die Mersenne-Zahlen dar?

Sind es 50 %? (Wie bei den geraden Zahlen).
Sind es 10 %?
Oder sind sie so winzig, dass sie effektiv Null sind?

Lange Zeit war dies ein ungelöstes Rätsel. Dieses Paper behauptet, es mithilfe einer speziellen Art von Mathematik namens Nichtstandard-Analysis gelöst zu haben.

Das Werkzeug: Eine riesige Tabellenkalkulation (Die Matrix)

Um dies zu lösen, betrachtet der Autor nicht nur eine einfache Linie von Zahlen. Er baut eine riesige, zweidimensionale Tabellenkalkulation (eine Matrix), die jede einzelne natürliche Zahl genau einmal enthält. Keine Duplikate, keine fehlenden Zahlen.

Er verwendet eine clevere Sortierregel (die Cantor-Paarungsfunktion), um diese Tabelle zu organisieren:

Die Zeilen (Horizontal): Dies sind einfache arithmetische Muster. Wenn man sich eine einzelne Zeile ansieht, sind die Zahlen gleichmäßig verteilt.
Die Spalten (Vertikal): Das ist der interessante Teil. Jede Spalte beginnt mit einer geraden Zahl (der „Wurzel“) und folgt dann einer spezifischen Regel, um die nächste Zahl zu erzeugen: Mal 2 nehmen und plus 1 rechnen.
- Beispiel: Beginnen Sie mit 0. Die nächste ist $2(0)+1 = 1$ . Die nächste ist $2(1)+1 = 3$ . Die nächste ist $2(3)+1 = 7$ .
- Dies erzeugt einen „Baum“ von Zahlen, der nach oben wächst. Die allererste Spalte sind die Mersenne-Zahlen. Die nächste Spalte ist eine ähnliche Familie, die Thabit-Zahlen, und so weiter.

Der „Nichtstandard“-Kniff: Unendlich groß und unendlich klein

Die Standardmathematik befasst sich meist mit Grenzwerten (Annäherung an Null). Dieses Paper nutzt die Nichtstandard-Analysis, die „unendlich kleine“ und „unendlich große“ Zahlen als tatsächliche, feste Werte behandelt.

Denken Sie an Folgendes:

Unendlich groß ( $\omega$ ): Stellen Sie sich eine Zahl vor, die so groß ist, dass sie größer ist als jede Zahl, die man zählen kann.
Infinitesimal ( $\epsilon$ ): Stellen Sie sich eine Zahl vor, die so klein ist, dass sie kleiner ist als jeder Bruch, den man schreiben kann, aber sie ist nicht Null. Sie ist ein „Geist“ einer Zahl.

Die Berechnung: Das Gleichgewicht der Gleichung

Der Autor betrachtet die „Dichte“ (wie voll die Zahlen sind) in den Spalten seiner Tabelle.

Die Zeilen sind einfach: Wenn man sich die Zeilen ansieht, ist die Mathematik simpel. Die erste Zeile hat eine Dichte von 1/2, die zweite 1/4, die dritte 1/8 und so weiter. Wenn man all diese zusammenzählt ( $1/2 + 1/4 + 1/8...$ ), erhält man genau 1. Das ergibt Sinn, da die gesamte Tabelle 100 % aller Zahlen repräsentiert.
Die Spalten sind knifflig:
- Die erste Spalte (Mersenne-Zahlen) ist so spärlich, dass ihre Dichte eine infinitesimale Zahl ist. Nennen wir diese winzige Menge $\epsilon$ .
- Die zweite Spalte (Thabit-Zahlen) ist noch spärlicher. Ihre Dichte ist $\epsilon / 3$ .
- Die dritte Spalte ist noch spärlicher: $\epsilon / 5$ .
- Die vierte: $\epsilon / 7$ .
- Und so weiter, bis in die Ewigkeit.

Der Autor argumentiert, dass, wenn man die Dichte jeder einzelnen Spalte zusammenzählt, man wieder bei 1 landen muss (da die Spalten alle natürlichen Zahlen abdecken).

So stellt er die Gleichung auf:
$1 = \epsilon + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{5} + \frac{\epsilon}{7} + \dots$

Wenn man das winzige $\epsilon$ ausklammert, sieht es so aus:
$1 = \epsilon \times \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots \right)$

Die Schlussfolgerung

Der Teil in der Klammer ist die Summe der Kehrwerte aller ungeraden Zahlen ( $1 + 1/3 + 1/5...$ ). In der Standardmathematik geht diese Summe gegen Unendlich. In der Nichtstandard-Ansicht dieses Papers ist diese Summe eine unendlich große Zahl, die der Autor $\omega$ nennt.

Die Gleichung lautet also:
$1 = \epsilon \times \omega$

Um die Dichte der Mersenne-Zahlen ( $\epsilon$ ) zu finden, teilt man einfach 1 durch diese riesige Zahl:
$\epsilon = \frac{1}{\omega}$

Was das bedeutet

Das Paper behauptet zwei Hauptdinge:

Die Dichte ist NICHT Null. Da $\epsilon$ eine spezifische, nicht-null-gleiche infinitesimale Zahl ist, existieren Mersenne-Zahlen in der Menge der natürlichen Zahlen mit einer „positiven“ (wenn auch unglaublich winzigen) Dichte.
Der exakte Wert. Die Dichte ist exakt der Kehrwert der Summe der Kehrwerte aller ungeraden Zahlen.

Einfach ausgedrückt: Der Autor hat ein riesiges Gitter gebaut, um alle Zahlen zu ordnen. Er fand heraus, dass Mersenne-Zahlen zwar unglaublich selten sind (so selten, dass ihre Dichte eine „infinitesimale“ ist), aber sie sind nicht nicht existent. Ihre „Seltenheit“ ist mathematisch gegen die unendliche Summe der ungeraden Brüche ausbalanciert, um exakt 1 zu ergeben.

Hinweis: Das Paper präsentiert dies als eine theoretische Lösung unter Verwendung spezifischer nichtstandard-mathematischer Werkzeuge. Es diskutiert keine praktischen Anwendungen, wie etwa die Verwendung in der Kryptographie oder Informatik, sondern konzentriert sich rein auf die Lösung dieses theoretischen zahlentheoretischen Rätsels.

Technische Zusammenfassung: Berechnung der natürlichen Dichte von Mersenne-Zahlen mittels nichtstandardmäßiger mathematischer Analyse

Problemstellung
Die Arbeit befasst sich mit einem langjährigen offenen Problem in der Zahlentheorie: der Bestimmung der natürlichen Dichte der Folge der Mersenne-Zahlen innerhalb der Menge der nicht-negativen ganzen Zahlen ( $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$ ). Konkret untersucht der Autor, ob diese Dichte Null oder ein positiver Wert ist. Während die Standardanalyse nahelegt, dass die Dichte gegen Null geht, wenn der Bereich zunimmt, versucht die Arbeit, die Natur dieses Grenzwerts unter Verwendung der nichtstandardmäßigen mathematischen Analyse zu klären.

Methodik
Der Autor verwendet einen zweigleisigen Ansatz, der kombinatorische Zahlentheorie und nichtstandardmäßige Analyse kombiniert:

Matrizenkonstruktion via Pepis-Kalmar-Paarung:
Der Autor konstruiert eine zweidimensionale Matrix $\mathbb{M}$ , die alle nicht-negativen ganzen Zahlen ohne Wiederholung enthält. Diese Matrix wird mithilfe der Pepis-Kalmar-Paarungsfunktion generiert:
$f(x, y) = (2x + 1) \times 2^y - 1$
- Struktur: Die $x$ -Achse repräsentiert gerade Zahlen (beginnend bei 0) und die $y$ -Achse repräsentiert die Tiefe der Sequenz.
- Spalten (Mersenne-Bäume): Jede Spalte entspricht einem spezifischen $x$ $x$ -Wert und bildet einen „unären Baum“ (oder Mersenne-Baum), dessen Terme durch die Rekursion $t' = 2t + 1$ $t^{'} = 2 t + 1$ erzeugt werden.
  - Die erste Spalte ( $x=0$ ) enthält die Mersenne-Zahlen ( $2^y - 1$ ).
  - Die zweite Spalte ( $x=1$ ) enthält Thabit-Zahlen ( $3 \times 2^y - 1$ ).
  - Nachfolgende Spalten folgen dem Muster $(2x+1) \times 2^y - 1$ .
- Eindeutigkeit: Der Autor beweist, dass alle Terme in dieser Matrix eindeutig sind, was sicherstellt, dass die Matrix die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ partitioniert.
Rahmen der nichtstandardmäßigen Analyse:
Die Arbeit nutzt die nichtstandardmäßige Analyse, die tatsächliche infinitesimale ( $\epsilon$ ) und unendlich große ( $\omega$ ) Größen einführt, die als Konstanten und nicht als Variablen behandelt werden.
- Zeilen: Die natürliche Dichte jeder Zeile (einer arithmetischen Progression) wird als der Kehrwert ihrer Differenz ( $1/2, 1/4, 1/8, \dots$ ) berechnet. Die Summe dieser Dichten ergibt 1, was konsistent mit der Dichte von $\mathbb{N}$ ist.
- Spalten: Der Autor analysiert die Dichte der Spalten. Für die erste Spalte (Mersenne-Zahlen) wird die Dichte als ein Infinitesimal $\epsilon$ bezeichnet. Für nachfolgende Spalten ( $x=1, 2, \dots$ ) werden die Dichten als $\epsilon/3, \epsilon/5, \dots$ abgeleitet, entsprechend den ungeraden Faktoren $(2x+1)$ .

Wesentliche Beiträge und Ergebnisse
Der primäre Beitrag besteht in der Ableitung einer spezifischen Gleichung, die die natürliche Dichte der Mersenne-Zahlen mit der Summe der Kehrwerte ungerader Zahlen in Beziehung setzt.

Dichtederivation: Durch die Summation der Dichten aller Spalten in der Matrix setzt der Autor die Gesamtdichte gleich 1 (die Dichte von $\mathbb{N}$ ). Dies ergibt die Gleichung:
$1 = \epsilon + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{5} + \frac{\epsilon}{7} + \dots = \epsilon \times \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \dots\right)$
Definition von $\omega$ : Der Ausdruck in den Klammern wird als $\omega$ identifiziert, der Summe der Kehrwerte aller ungeraden natürlichen Zahlen, was ein unendlich großer Wert in der nichtstandardmäßigen Analyse ist.
Die Hauptgleichung: Die Beziehung wird formalisiert als:
$\epsilon \times \omega = 1 \quad \text{oder} \quad \epsilon = \frac{1}{\omega}$
Theorem 2: Die Arbeit schließt mit dem Ergebnis, dass die natürliche Dichte der Mersenne-Zahlen ( $\epsilon$ ) und der Kehrwert der Summe der Kehrwerte ungerader natürlicher Zahlen ( $1/\omega$ ) äquivalente infinitesimale Zahlen sind.

Bedeutung und Behauptungen
Die Arbeit behauptet, das offene Problem bezüglich der natürlichen Dichte von Mersenne-Zahlen dadurch zu lösen, dass sie beweist, dass die Dichte positiv (nicht Null) ist.

Beweis der Positivität: Der Autor argumentiert, dass wenn $\epsilon$ Null wäre, die Summe der Spaltendichten Null ergeben würde, was im Widerspruch zu der Tatsache steht, dass die Matrix alle natürlichen Zahlen abdeckt (Dichte = 1). Daher muss $\epsilon$ ein positives Infinitesimal sein.
Konkrete Bestimmung: Während er anerkennt, dass die Verteilungsdichte von Mersenne-Zahlen in der Standardmathematik traditionell unbekannt ist, behauptet die Arbeit, eine „konkrete Gleichung“ zur Bestimmung dieser Dichte innerhalb des Rahmens der nichtstandardmäßigen Analyse erhalten zu haben.
Äquivalenz: Das Ergebnis stellt eine Äquivalenz zwischen der Dichte der Mersenne-Zahlen und dem Kehrwert der divergenten harmonischen Reihe ungerader Zahlen her, indem beide als spezifische, nicht-Null-infinitesimale Werte innerhalb des nichtstandardmäßigen Zahlensystems behandelt werden.

Die Arbeit schlägt keine experimentellen Anwendungen oder zukünftigen Erweiterungen über die präsentierte mathematische Ableitung hinaus vor. Die Bedeutung wird strikt im Kontext der Lösung der theoretischen Frage nach der Dichte von Mersenne-Zahlen unter Verwendung der Werkzeuge der nichtstandardmäßigen Analyse gerahmt.