1730 पेपर
यह शोध पत्र के लिए 6 के गुणांक (modulo 6) के संबंध में नाथ, सैकिया और सरमा के एक अनुमान की पुष्टि करता है और प्रारंभिक -श्रृंखला तकनीकों का उपयोग करके -टुपल -नियमित विभाजनों (partitions) के लिए नए अनुक्रमिकों (congruences) के परिवारों को स्थापित करता है।
यह शोध पत्र विभिन्न रोजर्स-रामानुजन पहचानों के -अनुरूपों (t-analogues) को व्युत्पन्न करने के लिए अधिकतम-ऊंचाई वाले आयताकार विभाजन (maximal-height rectangular partitions) द्वारा अनुक्रमित ऑर्थोगोनल और सिम्पलेक्टिक शूर फलनों (orthogonal and symplectic Schur functions) के लिए ड्यूल जैकोबी-ट्रुडी पहचानों के एफ़ाइन (affine) और हॉल-लिटिलवुड (Hall-Littlewood) अनुरूपों का अनुमान लगाता है, जबकि साथ ही मनमाने ऊंचाई वाले आयताकार विभाजनों के लिए एक एफ़ाइन अनुरूप को भी सिद्ध करता है।
यह शोध पत्र कॉम्प्लेक्स मल्टीप्लिकेशन (complex multiplication) वाले एलिप्टिक कर्व्स पर बिंदुओं के गुणजों से जुड़े नेट पॉलिनोमिअल्स (net polynomials) के लिए एक स्पष्ट मूल्यांकन सूत्र स्थापित करता है, और इस परिणाम को यह प्रदर्शित करने के लिए लागू करता है कि संगत एलिप्टिक डिविजिबिलिटी सीक्वेंस (elliptic divisibility sequences), कॉम्प्लेक्स मल्टीप्लिकेशन ऑर्डर के तत्वों द्वारा अनुक्रमित (indexed) होने पर एक पुनरावृत्ति संबंध (recurrence relation) का पालन करते हैं।
सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना (Generalized Riemann Hypothesis) को मानते हुए, यह शोध पत्र परिमित गैलवा विस्तारों (finite Galois extensions) से संबद्ध डेडेकइंड ज़ेटा फलन के शिफ्टेड मोमेंट्स (shifted moments) के लिए अनुमानित कोटि के परिमाण (conjectural order of magnitude) की ऊपरी सीमाएं स्थापित करता है, जिससे मिलिनोविच, टर्नज-बटरबॉघ और हेगन के पिछले परिणामों में सुधार और विस्तार होता है।
यह शोध पत्र -आदिक फलन क्षेत्रों (p-adic function fields) पर चिकनी समाकलित किस्मों (smooth integral varieties) के लिए कोहोमोलॉजिकल बाधाओं (cohomological obstructions) को प्रस्तुत करता है, यह प्रदर्शित करते हुए कि अनरैम्ड (unramified) बाधा, अंकगणितीय द्वैतता-आधारित बाधाओं में सबसे सूक्ष्म है, एक ऐसा उदाहरण प्रदान करते हुए जहाँ यह उन विफलताओं का पता लगाता है जिन्हें मैनिन बाधा (Manin obstruction) चूक जाती है, और इसकी तुलना डिसेंट बाधा (descent obstruction) के साथ करता है।
यह शोध पत्र एंड्रयूज के पृथक पूर्णांक विभाजन वर्गों (separable integer partition classes) के सिद्धांत के अनुप्रयोग को स्लेटर की सूची में अन्य सर्वसमिकाओं तक विस्तारित करता है, जिसमें श्रृंखला पक्षों (series sides) के स्वाभाविक परिशोधन प्रदान करने के लिए स्थितिगत अंतराल संबंधी शर्तों (positional gap conditions) वाले विशिष्ट ओवरपार्टिशन वर्गों का निर्माण किया गया है, जिन्हें फिर उत्पाद रूपों (product forms) को पुनः प्राप्त करने और नई सहवर्ती सर्वसमिकाओं (companion identities) को व्युत्पन्न करने के लिए उन्नत -श्रंखला तकनीकों का उपयोग करके रूपांतरित किया गया है।
यह शोध पत्र लैंगलैंड्स के स्पेक्ट्रल निर्माण (spectral construction) के बजाय बुनियादी विश्लेषणात्मक गुणों और ग्रीन की पहचान (Green's identity) पर भरोसा करते हुए एक प्रत्यक्ष प्रमाण प्रदान करता है कि ऊपरी अर्ध-तल (upper half-plane) पर प्रत्येक स्तर एक गोलाकार ऑटोमॉर्फिक फलन (level one spherical automorphic form), एक कस्प फलन (cusp form) और मानक आइजनस्टीन श्रेणी (standard Eisenstein series) के लॉरेंट गुणांकों (Laurent coefficients) के एक रैखिक संयोजन में विभाजित होता है, जिससे फ्रैंके के सामान्य प्रमेय का सबसे सरल मामला स्थापित होता है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि रामानुजन के तीसरे-क्रम के मॉक थीटा फलन के गुणांक , पर्याप्त बड़े के लिए एक विशिष्ट चिह्न पैटर्न प्रदर्शित करते हैं, जहाँ धनात्मक है और ऋणात्मक हैं, जो वाटसन के संबंध और रेडेकर-प्रकार के विस्तारों का उपयोग करके एक अनंत सूत्र व्युत्पन्न करके प्राप्त किया गया है।
यह शोध पत्र ट्रांसवर्सल अंतर संख्या (transversal difference number) का परिचय और अन्वेषण करता है, जो परिमित एबेलियन कोटिएंट्स (finite abelian quotients) में एक ट्रांसवर्सल के अंतर सेट के न्यूनतम आकार को मापने वाला एक नया इनवेरिएंट (invariant) है, जो सामान्य निचली सीमाएँ स्थापित करके, विशिष्ट उत्पाद परिवारों को अभिलक्षणित करके, और तकनीकी रूप से मुख्य मामले—समान-प्राइम वर्ग तलों (same-prime square planes)—के लिए एक अनुमानित सटीक मान हेतु सशक्त प्रमाण प्रदान करके किया गया है।
यह शोधपत्र सभी आयामों में ट्राइएंगल मैप (triangle map) के स्वाभाविक विस्तार का पूर्णतः वर्णन करता है, जो यंग कंजुगेशन (Young conjugation) से व्युत्पन्न एक नई आंतरिक सममिति को प्रकट करता है जो इस विस्तार को चार स्वाभाविक उप-डोमेनों में विभाजित करती है, एक ऐसा संरचनात्मक अंतर्दृष्टि जो गौस (Gauss) और फेरे (Farey) जैसे शास्त्रीय निरंतर भिन्न (continued fraction) मानचित्रों के लिए भी नवीन प्रतीत होती है।