1730 पेपर
यह शोध पत्र रीमान ज़ेटा फलन के प्रवर्धित (amplified) द्वितीय और चतुर्थ क्षणों के लिए अनंतस्पर्शी सूत्र स्थापित करता है ताकि विभिन्न संयुक्त क्षणों के लिए बिना शर्त प्रभावी निम्नतम सीमाओं को प्राप्त किया जा सके, जिसमें छठा क्षण के लिए एक विशिष्ट सीमा शामिल है, जो लिंडेलोफ़ परिकल्पना पर निर्भर किए बिना रैंडम मैट्रिक्स थ्योरी के अनुमानों और पिछले अनुमानों के अनुरूप है।
यह शोध पत्र स्पष्ट रूप से उन बीजगणितीय हेके वर्णों (algebraic Hecke characters) का निर्माण और निर्धारण करता है जो एक संख्या क्षेत्र (number field) पर परिभाषित उन K3 सतहों से संबद्ध हैं जिनमें सम्मिश्र गुणन (complex multiplication) विद्यमान है, जिसमें सरल एबेलियन सतहों से जुड़ी कुमर सतहों (Kummer surfaces) पर विशिष्ट ध्यान केंद्रित किया गया है।
लैंगलैंड्स अनुमान (Langlands conjecture) और रेगुलेटर्स (regulators) पर एक सीमा को मानते हुए, यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि किसी भी अभाज्य और पूर्णांक के लिए, ऐसे कम से कम पूर्णांक विद्यमान हैं जिनके लिए क्रमागत शुद्ध क्षेत्र (consecutive pure fields) सभी के पास अनिश्चित रूप से बड़े क्लास नंबर (class numbers) हैं।
यह शोधपत्र ह्यूरिस्टिक यूलर-शैली की गणनाओं को प्रस्तुत करता है जो गॉस और आइजनस्टीन पूर्णांकों तथा अभाज्य संख्याओं के नियमितीकृत अनंत गुणनफलों के लिए स्पष्ट व्यंजक व्युत्पन्न करते हैं, जो सभी प्राकृतिक अभाज्य संख्याओं के गुणनफल का मूल्यांकन करने के लिए प्रयुक्त पद्धति का विस्तार करते हैं।
यह शोध पत्र स्टर्न-ब्रोकोट और कालकिन-विल्फ वृक्षों को एकीकृत करने वाले एक आव्यूह-आधारित बाइनरी ट्री (matrix-based binary tree) को प्रस्तुत करता है, निरंतर भिन्नों (continued fractions) के साथ इसके संबंध की खोज करता है, और दो वर्गों के योग (sum of two squares) के लिए ब्रिलहार्ट के प्रमाण के पथ-आधारित प्रतिनिधित्व को प्रदान करने के लिए इस ढांचे का उपयोग करता है।
यह मानते हुए कि सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना (GRH) और सरल शून्य (simple zeros) सत्य हैं, यह शोध पत्र डिरिचलेट -फंक्शन्स के ऋणात्मक विविक्त द्वितीय क्षणों (negative discrete second moments) के लिए समान निम्नतम सीमाएँ (uniform lower bounds) स्थापित करता है जो कंडक्टर और ऊँचाई के बीच संबंध के आधार पर अनुमानित एसिम्प्टोटिक्स के एक विशिष्ट अनुपात को समाहित करती हैं, जबकि साथ ही पात्रों के परिवारों (families of characters) पर उनके वास्तविक अग्रणी क्रम पदों (leading order terms) और उनके औसत के लिए अनुमान भी प्रस्तावित करता है।
यह शोधपत्र कैंटर-लेबेग माप (Cantor-Lebesgue measure) के लिए नए समान फूरियर क्षय अनुमान (uniform Fourier decay estimates) स्थापित करके मिडल-थर्ड कैंटर सेट (middle-third Cantor set) के डायडिक सन्निकटन (dyadic approximation) के मेट्रिक सिद्धांत पर वेलानी के अनुमान (Velani's conjecture) को हल करता है, जो यह सिद्ध करता है कि के लिए सुलभ-सन्निकट बिंदुओं (well-approximable points) का समुच्चय शून्य माप रखता है और के लिए पूर्ण माप रखता है।
मानक टेलर-विलेस परिकल्पनाओं के अंतर्गत, यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि एक पूर्णतः वास्तविक क्षेत्र (totally real field) पर अपरिमेय, पूर्णतः विषम (totally odd), 2-आयामी mod गैलुआ निरूपण (Galois representations), संभावित अर्ध-स्थिर (potentially semistable) स्थितियों और अनिश्चित नियमित हॉज-टेट भारों (Hodge–Tate weights) के साथ स्थानीय विरूपण वलयों (local deformation rings) के किसी भी निर्धारित घटकों में उत्थापन (lifts) स्वीकार करते हैं।
यह शोध पत्र उनके ब्रेअर समूहों (Brauer groups) के लिए माज़ुर के नियंत्रण प्रमेय (Mazur's control theorem), इवासावा के वर्ग संख्या सूत्र (Iwasawa's class number formula), और इवासावा की मुख्य अनुमान (Iwasawa main conjecture) के अनुरूपों को सिद्ध करके परिमित क्षेत्रों पर K3 सतहों के लिए इवासावा सिद्धांत की शुरुआत करता है, साथ ही कुमर सतहों (Kummer surfaces) के लिए स्पष्ट उदाहरण भी प्रदान करता है।
यह शोध पत्र के कॉन्ग्रुएंस क्लासेस (congruence classes) में प्राइम जियोडेसिक प्रमेय (prime geodesic theorem) पर पूर्ववर्ती कार्यों का सामान्यीकरण करता है ताकि यह सिद्ध किया जा सके कि चेबोटेव डेंसिटी प्रमेय (Chebotarev density theorem) का जियोडेसिक अनुरूप के एरर एक्सपोनेंट (error exponent) के साथ सत्य है, जिससे किसी भी कॉन्ग्रुएंस सबग्रुप (congruence subgroup) के लिए प्राइम जियोडेसिक प्रमेय हेतु समान बाउंड (bound) स्थापित होता है।