1730 पेपर
यह शोध पत्र सिद्ध करता है कि प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक को एक त्रिकोणीय, एक पंचकोणीय और एक सप्तकोणीय संख्या के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिससे MechMath एजेंट टीम द्वारा उत्पन्न और Lean 4 में औपचारिक रूप से सिद्ध किए गए प्रमाण का उपयोग करते हुए OEIS A287616 अनुमान (conjecture) को सुलझाया गया है।
यह शोध पत्र एक विशिष्ट डिग्री-शून्य संचयक (divisor) का उपयोग करके, जो -adic ऊंचाइयों को कोलमैन इंटीग्रल्स के माध्यम से व्यक्त किए जाने वाले रैखिक फलनों तक सीमित करता है, संख्या क्षेत्रों (number fields) पर कुछ सम-डिग्री हाइपरएलिप्टिक वक्रों पर पूर्णांक बिंदुओं की गणना करने के लिए एक काफी सरल और तेज़ क्वाड्रेटिक चाबौटी (quadratic Chabauty) विधि प्रस्तुत करता है।
यह शोध पत्र विषम और सम दोनों डिग्री के हाइपरएलिप्टिक कर्व्स पर स्थानीय कोलमैन-ग्रॉस (Coleman-Gross) p-एडिक ऊंचाइयों की गणना के लिए एक काफी तेज़ और सरल एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है, जो क्वाड्रेटिक शाबौटी (Chabauty) विधियों और p-एडिक बर्च और स्विनर्टन-डायर (Birch and Swinnerton-Dyer) अनुमान सत्यापन में नए अनुप्रयोगों को सक्षम बनाता है।
यह शोधपत्र स्थापित करता है कि मॉड्यूलर वक्र के ट्रिपल उत्पाद पर एक विशिष्ट बीजगणितीय चक्र (algebraic cycle) शून्य-समरूप (null-homologous) है और संबद्ध ट्विस्टेड ट्रिपल प्रोडक्ट -फलन का वैश्विक रूट नंबर (global root number) $-1$ है, जो मानक अनुमानों के तहत इस बात का पुख्ता प्रमाण प्रदान करता है कि वह चक्र गैर-टॉर्शन (non-torsion) है।
यह शोध पत्र वास्तविक द्विघात क्षेत्रों (real quadratic fields) पर दीर्घवृत्तीय वक्रों (elliptic curves) के लिए एक -विपरीत प्रमेय (p-converse theorem) स्थापित करता है, यह सिद्ध करके कि यदि मोर्डेल-वील रैंक (Mordell-Weil rank) एक है और टेट-शेफ़ारेविच समूह (Tate-Shafarevich group) का -भाग परिमित है, तो विश्लेषणात्मक रैंक (analytic rank) भी एक ही होगी, और आगे इस परिणाम को पर एक -विपरीत प्रमेय व्युत्पन्न करने के लिए लागू करता है।
यह शोध पत्र एक धनात्मक अभिलक्षण वाले परिमित क्षेत्र के ऊपर एक बीजगणितीय फलन क्षेत्र (algebraic function field) के भीतर -सह-अभाज्य -पूर्णांकों और -पूर्णांक आदर्शों के लिए गणना सूत्र प्राप्त करने हेतु विश्लेषणात्मक विधियों, रीमान-रॉक प्रमेय (Riemann-Roch theorem), और वेइल प्रमेय (Weil theorem) के संयोजन का उपयोग करता है।
यह शोध पत्र एफाइन पैनमैजिक क्रमपरिवर्तनों (affine panmagic permutations) के N-ary समूहों को डायहेड्रल उपसमूहों के कोसेट्स (cosets) के रूप में अभिलक्षणिक करने के लिए पोस्ट कोसेट प्रमेय (Post coset theorem) का उपयोग करता है, जबकि उनके चक्र अपघटन (cycle decompositions) और संख्या सिद्धांत एवं संयोजन विज्ञान (combinatorics) की शास्त्रीय अवधारणाओं के बीच गहरे संबंधों को प्रकट करता है।
यह शोधपत्र रेसिप्रोकल वालिस कारकों को बहुपद भारों तक बढ़ाकर और गैर-योगक्षम लघुगणकीय पदों को न्यूनतम घातांकीय प्रति-पदों के साथ निरस्त करके, नियमितीकृत वालिस उत्पादों की एक श्रेणी प्रस्तुत करता है, जो ज़ेटा-फलन पूंछों (zeta-function tails), हार्मोनिक संख्याओं और बहु-ज्या साइन फलनों (multiple sine functions) के माध्यम से व्यक्त होने वाले अभिसारी उत्पादों को जन्म देता है।
यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि प्रत्येक अंकगणितीय प्रगति (arithmetic progression) में अनंत संख्या में ज़ेकेन्डोर्फ-निवेन (Zeckendorf-Niven) और लुकास-निवेन (Lucas-Niven) संख्याएँ विद्यमान हैं और विशिष्ट प्रगति के भीतर ऐसे क्रमिक पदों की अधिकतम संख्या पर सीमाएँ स्थापित करता है।
यह शोध पत्र विभिन्न ज्यामितीय -डिसक्रेपेंसी (discrepancies) के लिए आयामी अभिशाप (curse of dimensionality) की जांच करने के लिए एक एकीकृत डिसक्रेपेंसी-इंटीग्रेशन द्वैतता ढांचे (discrepancy-integration duality framework) का उपयोग करते हुए टेंसर-उत्पाद धारणाओं (tensor-product assumptions) के तहत घातांकीय सूचना जटिलता (exponential information complexity) स्थापित करता है, और साथ ही आवधिक डिसक्रेपेंसी (periodic discrepancies) पर नए परिणाम प्रस्तुत करता है तथा खुले प्रश्नों की एक व्यापक तालिका के साथ वर्तमान अनुसंधान परिदृश्य का सारांश प्रस्तुत करता है।