1730 पेपर
यह शोध पत्र पॉलीलॉगैरिद्मिक कॉम्प्लेक्स और डी जू के मानचित्र का उपयोग करके सभी के लिए फर्मा वक्रों के समूह में स्पष्ट, गैर-तुच्छ तत्वों का निर्माण करता है, और ज़ागियर के ट्रिलॉगैरिदम तथा हाइपरजियोमेट्रिक फलनों से संबंधित सूत्रों को व्युत्पन्न करके बेइन्सोसन के रेगुलेटर मानचित्र के माध्यम से उनकी गैर-तुच्छता को सिद्ध करता है, तथा विशिष्ट मामलों के लिए बेइन्सोसन की परिकल्पनाओं का संख्यात्मक रूप से सत्यापन करता है।
यह शोध पत्र प्राकृतिक सीमाओं से परे ज़ेटा-नियमितीकरण (zeta-regularization) तकनीकों का विस्तार करता है ताकि सभी अभाज्य संख्याओं के नियमितीकृत योग को प्राप्त किया जा सके और नौ काल्पनिक द्विघाती क्षेत्रों (imaginary quadratic fields) में पूर्णांकों और अभाज्य संख्याओं के नियमितीकृत गुणनफलों के बीच सामान्य संबंध स्थापित किया जा सके।
यह शोधपत्र वास्तविक संख्याओं के उन स्वेच्छाचारी रूप से बड़े परिमित समुच्चयों के अस्तित्व को प्रदर्शित करता जहाँ गुणन समुच्चय और विस्थापित गुणन समुच्चय दोनों ही एक साथ स्पष्ट द्विघाती सीमा (trivial quadratic bound) से काफी छोटे हैं, जिससे पर योग-गुणन अनुमान (sum-product conjecture) के एक प्रबल रूप का खंडन होता है।
यह शोधपत्र धारीदार वांग टाइल्स (striped Wang tiles) की अनिरंतरता (non-periodicity) के लिए एक ज्यामितीय पर्याप्त स्थिति स्थापित करता है और यह प्रदर्शित करता है कि एक ही द्विघात क्षेत्र (quadratic field) के भीतर किसी भी दो अपरिमेय संख्याओं के युग्म के लिए, निर्धारित स्ट्राइप घनत्वों के साथ ऐसे टाइल्स का एक संगत परिमित अनिरंतर सेट मौजूद है।
यह शोधपत्र फूरियर विश्लेषण और परिमेय बिंदु गणना के माध्यम से लघु और दीर्घ औसत को जोड़कर, लघु अंतरालों में एक सामान्य वर्ग के गुणनशील फलनों (multiplicative functions) के प्रसरण (variance) के लिए स्पर्शोन्मुखी अनुमान (asymptotic estimates) स्थापित करता है, जिससे मौजूदा परिणामों में सुधार होता है और के प्रसरण के संबंध में वैन ओवरबीक (van Overbeeke) के एक अनुमान का खंडन होता है।
यह शोध पत्र एटा-कोशिका-खंडों (eta-quotients) द्वारा प्रेरित परिमेय-भार वाले मॉड्यूलर रूपों के स्थानों के लिए स्पष्ट आयाम सूत्र स्थापित करता है, उनके संबंधित मल्टीप्लायर सिस्टम्स को वर्गीकृत करता है, मार्टिन के प्रमेय का विस्तार करते हुए पूर्णांक भार वाले गुणात्मक समग्र एटा-कोशिका-खंडों की पहचान करता है, और सत्यापन के लिए सेजमैथ (SageMath) उपकरण प्रदान करता है।
यह शोध पत्र -मानों के लिए निरंतर भिन्न (continued fraction) पैटर्न के संदर्भ में -डिरिचलेट सुधार योग्य (Dirichlet improvable) संख्याओं का एक पूर्ण लक्षण वर्णन प्रदान करता है, जो विशिष्ट सेट अंतरों के पूर्ण हाउज़डॉर्फ आयाम (Hausdorff dimension) के संबंध में क्लाइनबॉक और राव के खुले प्रश्नों को हल करता है और के उस सटीक परास (range) को निर्धारित करता है जिसके लिए संख्या डिरिचलेट सुधार योग्य है।
यह शोध पत्र एलिप्टिक कर्व्स के उत्पादों के सार्वभौमिक परिवार (universal family) में मोटिविक साइकिल्स (motivic cycles) और वीकली होलोमॉर्फिक मॉड्यूलर फॉर्म्स (weakly holomorphic modular forms) के बोर्चर्ड्स लिफ्ट्स (Borcherds lifts) के बीच एक संबंध स्थापित करता है, जिससे बाद वाले की एक मोटिविक व्याख्या प्राप्त होती है और उन मामलों में ज़ैगियर के उच्च ग्रीन फंक्शन्स (higher Green's functions) संबंधी अनुमान को सिद्ध किया जाता है जहाँ दो सीएम (CM) बिंदु एक ही डिस्क्रिमिनेन्ट साझा करते हैं।
यह शोध पत्र यह स्थापित करता है कि पर -सामान्यीकृत अंकगणितीय गोलाकार हार्मोनिक्स (जो सभी हीके ऑपरेटरों के आइजनफंक्शंस हैं) के लिए, मौलिक विभेदकों (fundamental discriminants) से जुड़े भू-वक्रों (geodesics) पर उनके प्रतिबंध का -मान द्वारा के किसी मान के लिए सीमित है, जिससे बुर्क, जेरार्ड और त्ज़वेटकोव द्वारा व्युत्पन्न सामान्य इष्टतम सीमा में सुधार होता है।
यह शोध पत्र विश्लेषणात्मक और संयोजन संबंधी दोनों विधियों का उपयोग करते हुए, क्रैंक-मेक्स प्रमेय के एक परिष्कृत विस्तार को स्थापित और सिद्ध करता है जो सम मेक्स (mex) और निश्चित बिंदुओं वाले विभाजनों को ऋणात्मक और धनात्मक क्रैंक वाले विभाजनों से जोड़ता है, जिन्हें विशेष रूप से एक से अधिक भागों की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया गया है।