A Regularised Wallis Hierarchy

तकनीकी सारांश: एक नियमितीकृत वालिस पदानुक्रम (A Regularised Wallis Hierarchy)

समस्या विवरण
यह शोध पत्र व्युत्क्रम वालिस कारक (reciprocal Wallis factor), $1 - 1/n^2$ से प्राप्त अनंत गुणनफलों के अभिसरण गुणों (convergence properties) को संबोधित करता है। जबकि शास्त्रीय वालिस उत्पाद और उनके टेलिस्कोपिंग व्युत्क्रम समकक्ष स्थिर घातांकों के साथ अभिसरित होते हैं, व्युत्क्रम कारक को एक बहुपद भार $n^m$ (जहाँ $m = 0, 1, 2, \dots$) तक बढ़ाने से $m \geq 1$ के लिए साधारण अभिसरण नष्ट हो जाता है। ऐसे कारकों का लघुगणकीय विस्तार (logarithm) अपसारी श्रेणियों (divergent series) को उत्पन्न करता है। केंद्रीय समस्या एक सुसंगत नियमितीकरण योजना (regularisation scheme) को परिभाषित करना है जो इन अपसारताओं को हटाते हुए मूल वालिस कारक के साथ संरचनात्मक संबंध को संरक्षित करती है, जिससे अभिसारी गुणनफलों की एक पदानुक्रम $P_m$ निर्मित होती है।

कार्यप्रणाली (Methodology)
लेखक लघुगणकीय विस्तार के पदों पर एक न्यूनतम वजा (minimal subtraction) नियम लागू करके नियमितीकृत उत्पादों $P_m$ का एक पदानुक्रम प्रस्तुत करते हैं।

1. लघुगणकीय विस्तार: $\log(1 - 1/n^2)$ को $-\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j n^{2j}}$ के रूप में विस्तारित किया गया है। इसे भार $n^m$ से गुणा करने पर $-\sum_{j=1}^\infty \frac{n^{m-2j}}{j}$ प्राप्त होता है।
2. अपसारता की पहचान: पद $n^{m-2j}$ तब गैर-योगयोग्य (non-summable) होते हैं जब $m - 2j \geq -1$ हो। कटऑफ सूचकांक को $J_m = \lfloor \frac{m+1}{2} \rfloor$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
3. नियमितीकरण: विस्तार के सटीक रूप से गैर-योगयोग्य पदों को रद्द करने के लिए एक न्यूनतम घातांकीय काउंटरटर्म (exponential counterterm) पेश किया गया है। नियमितीकृत उत्पाद को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
   $$P_m = \prod_{n=2}^\infty \exp\left( \sum_{j=1}^{J_m} \frac{n^{m-2j}}{j} \right) \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^m}$$
4. जीटा-पूंछ सूत्रीकरण (Zeta-Tail Formulation): निरस्तीकरण के बाद, गुणनफल का लघुगणक एक पूर्णतः अभिसारी दोहरी श्रेणी में बदल जाता है, जिसे रीमान जीटा फलन $\zeta(s)$ की पूंछों (tails) के रूप में व्यक्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जाता है।
5. शाखा पृथक्करण (Branch Separation): पदानुक्रम का विश्लेषण सम (even, $m=2a$) और विषम (odd, $m=2a+1$) सूचकांकों को अलग करके किया जाता है, जिससे विभिन्न विशेष फलनों वाली अलग-अलग बंद-रूप (closed-form) गणनाएँ प्राप्त होती हैं।

मुख्य योगदान और परिणाम

• स्पष्ट जीटा-पूंछ प्रतिनिधित्व: मुख्य परिणाम $\log P_m$ को $\zeta(k) - 1$ वाले योग के रूप में प्राप्त करना है।

  • सम $m=2a$ के लिए: $\log P_{2a} = -\sum_{r=1}^\infty \frac{\zeta(2r)-1}{r+a}$।
  • विषम $m=2a+1$ के लिए: $\log P_{2a+1} = -\sum_{r=1}^\infty \frac{\zeta(2r+1)-1}{r+a+1}$।

• सम शाखा का बंद-रूप मूल्यांकन: सम शाखा का मूल्यांकन मूल स्थिरांकों, हार्मोनिक संख्याओं ($H_n$), और विषम जीटा मानों के संदर्भ में किया जाता है। परिणाम है:
  $$P_{2a} = \pi \exp\left[ -H_{a-1/2a} + 2a \sum_{\ell=1}^{a-1} \frac{(-1)^{\ell+1}(2a-1)!}{(2a-2\ell)!} \frac{\zeta(2\ell+1)}{(2\pi)^{2\ell}} \right]$$
  (नोट: शोध पत्र अंतिम सूत्र में हार्मोनिक पद को $-H_a - 1/2a$ के रूप में व्यक्त करता है)।

• विषम शाखा का बंद-रूप मूल्यांकन: विषम शाखा परिमित लघुगणकीय गामा मोमेंट्स (logarithmic gamma moments) में कम हो जाती है। इसका मूल्यांकन यूलर-माशेरोनी स्थिरांक $\gamma$, लघुगणक, विषम जीटा मानों और धनात्मक सम पूर्णांकों पर जीटा फलन के डेरिवेटिव $\zeta'(2k)$ के माध्यम से किया जाता है। इसे मोमेंट्स $M_k = \int_0^1 x^k [\psi(1+x) + \gamma] dx$ के माध्यम से व्यक्त किया गया है।

• हाइपरबोलिक साथी और दो-कारक विस्तार: पद्धति को हाइपरबोलिक साथी कारक $(1 + 1/n^2)$ को शामिल करने के लिए विस्तारित किया गया है। एक दो-पैरामीटर परिवार $P_m(A, B)$ को परिभाषित किया गया है, जहाँ $P_m = P_m(1, 0)$ है और शुद्ध हाइपरबोलिक मामला $P_m(0, 1)$ है। $P_m(A, B)$ के लघुगणक को $A$ और $B$ के प्रति रैखिक दिखाया गया है: $\log P_m(A, B) = A \log P_m + B \log P_m^+$।

• कुरोकावा के मल्टीपल साइन फलनों के साथ संबंध: यह शोध पत्र नियमितीकृत वालिस उत्पादों और कुरोकावा के मल्टीपल साइन फलनों, $S_r(z)$, के बीच सीधा संबंध स्थापित करता है।

  • सम शाखा ($m=2a$) को $z=1$ पर विषम मल्टीपल साइन फलन $S_{2a+1}(z)$ के डेरिवेटिव से प्राप्त किया गया है। विशेष रूप से, $P_{2a}$ का संबंध $S'_{2a+1}(1)$ से है।
  • विषम शाखा ($m=2a+1$) को विषम मल्टीपल साइन मामले के सममित साथी के रूप में पहचाना गया है, जो एक-पक्षीय कैनोनिकल कारकों $\Phi_m(x)\Phi_m(-x)$ के गुणनफल से उत्पन्न होता है।

विशिष्ट उदाहरण
शोध पत्र पदानुक्रम के पहले कुछ सदस्यों के स्पष्ट मूल्यांकन प्रदान करता है:

• $P_0 = 1/2$ (शास्त्रीय टेलिस्कोपिंग उत्पाद)।
• $P_1 = e^\gamma / 2$।
• $P_2 = \pi / e^{3/2}$ (ट्रिपल साइन फलनों द्वारा पहले पहचाने गए अलूच (Allouche) के परिणाम को पुनः प्राप्त करना)।
• $P_3$ और $P_4$ को $\gamma$, $\zeta(3)$, और $\zeta'(2)$ के संदर्भ में दिया गया है।

महत्व और दावे
शोध पत्र का दावा है कि यह अलग-थलग पड़े वालिस-प्रकार के उत्पाद अभेदों (identities) को एक एकीकृत, अनुक्रमित परिवार में रखता है। प्रत्येक $m$ के लिए एक ही विशिष्ट व्युत्क्रम वालिस कारक पर एक निश्चित न्यूनतम-वजा नियम लागू करके, लेखक एक "नियमितीकृत वालिस पदानुक्रम" का निर्माण करते हैं जहाँ लघुगणक स्पष्ट जीटा-पूंछ (zeta-tails) हैं।
इसका महत्व निम्नलिखित में निहित है:

1. एकीकरण: पहले से अलग-थलग पड़े परिणामों (जैसे अलूच द्वारा खोजा गया $m=2$ का मामला) को एक एकल ढांचे में जोड़ना।
2. संरचनात्मक अंतर्दृष्टि: यह प्रकट करना कि पदानुक्रम की सम और विषम शाखाएं स्वाभाविक रूप से कुरोकावा के विषम और सम मल्टीपल साइन फलनों के अनुरूप हैं।
3. स्पष्ट सूत्र: यह शोध पत्र इन उत्पादों के लिए बंद-रूप अभिव्यक्ति प्रदान करता है जिनमें मानक गणितीय स्थिरांक और जीटा फलन के विशेष मान शामिल हैं, जो नियमितीकृत अनंत गुणनफलों के ज्ञात परिदृश्य का विस्तार करते हैं।

लेखक नोट करते हैं कि यह सूत्रीकरण अन्य सामान्यीकरणों (जैसे कि Cai, Hu, Kim, या Farrell द्वारा) से भिन्न है क्योंकि यह विशेष व्युत्क्रम वालिस कारक पर सख्ती से न्यूनतम-वजा नियम का पालन करता है, जिससे एक ऐसा पदानुक्रम प्राप्त होता है जिसके लघुगणक स्पष्ट जीटा-पूंछ हैं। यह शोध पत्र नए अनुप्रयोगों या प्रयोगात्मक दिशाओं का प्रस्ताव नहीं करता है बल्कि इन उत्पाद अभेदों के विश्लेषणात्मक व्युत्पत्ति और वर्गीकरण पर ध्यान केंद्रित करता है।