A Regularised Wallis Hierarchy

Resumen Técnico: Una Jerarquía de Wallis Regularizada

Planteamiento del Problema
El artículo aborda las propiedades de convergencia de los productos infinitos derivados del factor recíproco de Wallis, $1 - 1/n^2$. Mientras que el producto de Wallis clásico y su contraparte recíproca telescópica convergen con exponentes constantes, elevar el factor recíproco a un peso polinómico $n^m$ (donde $m = 0, 1, 2, \dots$) destruye la convergencia ordinaria para $m \geq 1$. El logaritmo de tales factores genera series divergentes. El problema central es definir un esquema de regularización consistente que elimine estas divergencias preservando la relación estructural con el factor de Wallis original, creando así una jerarquía de productos convergentes $P_m$.

Metodología
El autor introduce una jerarquía de productos regularizados $P_m$ aplicando una regla de sustracción mínima a la expansión logarítmica de los términos.

1. Expansión Logarítmica: El término $\log(1 - 1/n^2)$ se expande como $-\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j n^{2j}}$. Multiplicar por el peso $n^m$ resulta en $-\sum_{j=1}^\infty \frac{n^{m-2j}}{j}$.
2. Identificación de la Divergencia: Los términos $n^{m-2j}$ no son sumables cuando $m - 2j \geq -1$. El índice de corte se define como $J_m = \lfloor \frac{m+1}{2} \rfloor$.
3. Regularización: Se introduce un contra-término exponencial mínimo para cancelar precisamente los términos no sumables en la expansión. El producto regularizado se define como:
   $$P_m = \prod_{n=2}^\infty \exp\left( \sum_{j=1}^{J_m} \frac{n^{m-2j}}{j} \right) \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^m}$$
4. Formulación de la Cola de Zeta: Tras la cancelación, el logaritmo del producto se reduce a una doble serie absolutamente convergente, la cual se reordena para expresar $\log P_m$ explícitamente en términos de las colas de la función zeta de Riemann, $\zeta(s)$.
5. Separación de Ramas: La jerarquía se analiza separando los índices pares ($m=2a$) e impares ($m=2a+1$), lo que conduce a evaluaciones de forma cerrada distintas que involucran diferentes clases de funciones especiales.

Contribuciones Clave y Resultados

• Representación Explícita de la Cola de Zeta: El resultado principal es la derivación de $\log P_m$ como una suma que involucra $\zeta(k) - 1$.

  • Para $m=2a$ (par): $\log P_{2a} = -\sum_{r=1}^\infty \frac{\zeta(2r)-1}{r+a}$.
  • Para $m=2a+1$ (impar): $\log P_{2a+1} = -\sum_{r=1}^\infty \frac{\zeta(2r+1)-1}{r+a+1}$.

• Evaluación de Forma Cerrada de la Rama Par:
  La rama par se evalúa en términos de constantes elementales, números armónicos ($H_n$) y valores impares de zeta. El resultado es:
  $$P_{2a} = \pi \exp\left[ -H_{a-1/2a} + 2a \sum_{\ell=1}^{a-1} \frac{(-1)^{\ell+1}(2a-1)!}{(2a-2\ell)!} \frac{\zeta(2\ell+1)}{(2\pi)^{2\ell}} \right]$$
  (Nota: El artículo expresa el término armónico como $-H_a - 1/2a$ en la fórmula final).

• Evaluación de Forma Cerrada de la Rama Impar:
  La rama impar se reduce a momentos finitos de la función gamma logarítmica. La evaluación involucra la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$, logaritmos, valores impares de zeta y derivadas de la función zeta en enteros pares positivos ($\zeta'(2k)$). El resultado se expresa mediante los momentos $M_k = \int_0^1 x^k [\psi(1+x) + \gamma] dx$.

• Compañero Hiperbólico y Extensión de Dos Factores:
  La metodología se extiende para incluir el factor compañero hiperbólico $(1 + 1/n^2)$. Se define una familia de dos parámetros $P_m(A, B)$, donde $P_m = P_m(1, 0)$ y el caso puramente hiperbólico es $P_m(0, 1)$. Se demuestra que el logaritmo del caso general es lineal en $A$ y $B$: $\log P_m(A, B) = A \log P_m + B \log P_m^+$.

• Conexión con las Funciones de Seno Múltiple de Kurokawa:
  El artículo establece un vínculo directo entre los productos de Wallis regularizados y las funciones de seno múltiple $S_r(z)$ de Kurokawa.

  • La rama par ($m=2a$) se deriva de la derivada de la función de seno múltiple impar $S_{2a+1}(z)$ en $z=1$. Específicamente, $P_{2a}$ está relacionado con $S'_{2a+1}(1)$.
  • La rama impar ($m=2a+1$) se identifica como el compañero simétrico del caso de seno múltiple par, surgido del producto de los factores canónicos de un solo lado $\Phi_m(x)\Phi_m(-x)$.

Ejemplos Específicos
El artículo proporciona evaluaciones explícitas para los primeros miembros de la jerarquía:

• $P_0 = 1/2$ (Producto telescópico clásico).
• $P_1 = e^\gamma / 2$.
• $P_2 = \pi / e^{3/2}$ (recuperando un resultado previamente identificado por Allouche mediante funciones de seno triple).
• $P_3$ y $P_4$ se dan en términos de $\gamma$, $\zeta(3)$ y $\zeta'(2)$.

Significado y Reivindicaciones
El artículo afirma situar identidades aisladas de productos tipo Wallis dentro de una familia indexada unificada. Al aplicar una regla de sustracción mínima fija al mismo factor de Wallis para cada $m$, el autor construye una "Jerarquía de Wallis Regularizada" donde los logaritmos son colas de zeta explícitas.
La importancia radica en:

1. Unificación: Conectar resultados previamente dispares (como el caso $m=2$ encontrado por Allouche) en un único marco de trabajo.
2. Perspectiva Estructural: Revelar que las ramas par e impar de la jerarquía corresponden naturalmente a las funciones de seno múltiple par e impar de Kurokawa, respectivamente.
3. Fórmulas Explícitas: Proporcionar expresiones de forma cerrada para estos productos que involucran constantes matemáticas estándar y valores especiales de la función zeta, extendiendo el panorama conocido de los productos infinitos regularizados.

El autor señala que la formulación es distinta de otras generalizaciones (por ejemplo, las de Cai, Hu, Kim o Farrell) porque se adhiere estrictamente a la regla de sustracción mínima sobre el factor de Wallis recíproco específico, produciendo una jerarquía con logaritmos de colas de zeta explícitas. El artículo no propone nuevas aplicaciones o direcciones experimentales, sino que se centra en la derivación analítica y la clasificación de estas identidades de productos.