A Regularised Wallis Hierarchy

技術要約：正則化されたウォリス階層

問題提起
本論文は、逆ウォリス因子 $1 - 1/n^2$ から導かれる無限積の収束特性を扱っている。古典的なウォリス積およびその望遠鏡的な逆数対応は定数指数で収束するが、逆数因子を多項式重み $n^m$ （ここで $m = 0, 1, 2, \dots$）で累乗すると、$m \geq 1$ において通常の収束性が破壊される。このような因子の対数は、発散級数の項を生成する。中心となる問題は、これらの発散を取り除きつつ、元のウォリス因子との構造的な関係性を維持できる一貫した正則化スキームを定義し、それによって収束する積の階層 $P_m$ を構築することである。

手法
著者は、対数展開に対して最小減算則（minimal subtraction rule）を適用することにより、正則化された積 $P_m$ の階層を導入する。

1. 対数展開: $\log(1 - 1/n^2)$ は $-\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j n^{2j}}$ として展開される。これに重み $n^m$ を乗じると $-\sum_{j=1}^\infty \frac{n^{m-2j}}{j}$ となる。
2. 発散の特定: 項 $n^{m-2j}$ は、$m - 2j \geq -1$ のときに非可算（non-summable）となる。カットオフ指数は $J_m = \lfloor \frac{m+1}{2} \rfloor$ と定義される。
3. 正則化: 展開における非可算な項を正確に打ち消すために、最小限の指数カウンター項を導入する。正則化された積は次のように定義される：
   $$P_m = \prod_{n=2}^\infty \exp\left( \sum_{j=1}^{J_m} \frac{n^{m-2j}}{j} \right) \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^m}$$
4. ゼータ・テイル定式化: 相殺後、積の対数は絶対収束する二重級数へと簡約され、その対数 $\log P_m$ はリーマン・ゼータ関数 $\zeta(s)$ のテイル（裾）を用いて明示的に表現されるよう再構成される。
5. 枝の分離: 階層は、偶数（$m=2a$）と奇数（$m=2a+1$）のインデックスを分離することによって分析され、異なるクラスの特殊関数を用いた明確な閉形式の評価へと導かれる。

主要な貢献と結果

• 明示的なゼータ・テイル表現: $\log P_m$ を $\zeta(k) - 1$ を含む和として導出することが主要な結果である。

  • 偶数 $m=2a$ の場合: $\log P_{2a} = -\sum_{r=1}^\infty \frac{\zeta(2r)-1}{r+a}$。
  • 奇数 $m=2a+1$ の場合: $\log P_{2a+1} = -\sum_{r=1}^\infty \frac{\zeta(2r+1)-1}{r+a+1}$。

• 偶数枝の閉形式評価:
  偶数枝は、基本定数、調和数 ($H_n$)、および奇数のゼータ値を用いて評価される。結果は以下の通りである：
  $$P_{2a} = \pi \exp\left[ -H_{a-1/2a} + 2a \sum_{\ell=1}^{a-1} \frac{(-1)^{\ell+1}(2a-1)!}{(2a-2\ell)!} \frac{\zeta(2\ell+1)}{(2\pi)^{2\ell}} \right]$$
  （注：論文内の最終公式では、調和項は $-H_a - 1/2a$ と表記されている）。

• 奇数枝の閉形式評価:
  奇数枝は、有限の対数ガンマモーメントへと簡約される。この評価には、オイラー・マセローニ定数 $\gamma$、対数、奇数のゼータ値、および正の偶整数におけるゼータ関数の微分 $\zeta'(2k)$ が含まれる。結果はモーメント $M_k = \int_0^1 x^k [\psi(1+x) + \gamma] dx$ を通じて表現される。

• 双曲線補完および二因子拡張:
  この手法は、双曲線補完因子 $(1 + 1/n^2)$ を含むように拡張される。二パラメータ族 $P_m(A, B)$ が定義され、$P_m = P_m(1, 0)$ であり、純粋な双曲線ケースは $P_m(0, 1)$ である。一般の場合の対数は $A$ と $B$ に関して線形であることが示される：$\log P_m(A, B) = A \log P_m + B \log P_m^+$。

• 黒川の多重サイン関数との関連:
  本論文は、正則化されたウォリス積と黒川の多重サイン関数 $S_r(z)$ との間の直接的な関連性を確立している。

  • 偶数枝 ($m=2a$) は、奇数多重サイン関数 $S_{2a+1}(z)$ の $z=1$ における微分から導かれる。具体的には、$P_{2a}$ は $S'_{2a+1}(1)$ と関連している。
  • 奇数枝 ($m=2a+1$) は、偶数多重サインケースの対称的な補完として特定され、片側標準因子 $\Phi_m(x)\Phi_m(-x)$ の積から生じる。

具体的な例
論文では、階層の最初の数個の要素について明示的な評価を提供している。

• $P_0 = 1/2$ （古典的な望遠鏡積）。
• $P_1 = e^\gamma / 2$。
• $P_2 = \pi / e^{3/2}$ （トリプルサイン関数を用いて以前にAlloucheによって特定された結果を回収）。
• $P_3$ および $P_4$ は、$\gamma, \zeta(3), \zeta'(2)$ を用いて与えられる。

意義と主張
本論文は、孤立したウォリス型の積の恒等式を、統一されたインデックス付きの族の中に位置づけることを目的としている。特定のウォリス因子に対して同一の最小減算則を適用することで、著者は、その対数が明示的なゼータ・テイルとなる「正則化されたウォリス階層」を構築している。
その意義は以下の点にある：

1. 統一: 以前にバラバラであった結果（Alloucheによる $m=2$ のケースなど）を単一の枠組みに統合すること。
2. 構造的洞察: 階層の偶数枝と奇数枝が、それぞれ黒川の奇数および偶数多重サイン関数と自然に対応していることを明らかにすること。
3. 明示的な公式: これらの積を、標準的な数学定数やゼータ関数の特殊値を含む閉形式の表現を提供し、既知の正則化された無限積の領域を拡張すること。

著者は、この定式化が他の一般化（Cai, Hu, Kim, または Farrell によるもの）とは異なり、特定の逆ウォリス因子に対する最小減算則を厳格に遵守しており、明示的なゼータ・テイルの対数を持つ階層を生み出している点を強調している。本論文は、新しい応用や実験的な方向性を提案するものではなく、これらの積の恒等式の解析的な導出と分類に焦点を当てている。