A Regularised Wallis Hierarchy

Resumo Técnico: Uma Hierarquia de Wallis Regularizada

Enunciado do Problema
O artigo aborda as propriedades de convergência de produtos infinitos derivados do fator recíproco de Wallis, $1 - 1/n^2$. Enquanto o produto de Wallis clássico e seu correspondente recíproco telescópico convergem com expoentes constantes, elevar o fator recíproco a um peso polinomial $n^m$ (onde $m = 0, 1, 2, \dots$) destrói a convergência ordinária para $m \geq 1$. O logaritmo de tais fatores gera séries divergentes. O problema central é definir um esquema de regularização consistente que remova essas divergências enquanto preserva a relação estrutural com o fator de Wallis original, criando assim uma hierarquia de produtos convergentes $P_m$.

Metodologia
O autor introduz uma hierarquia de produtos regularizados $P_m$ aplicando uma regra de subtração mínima à expansão logarítmica dos termos.

1. Expansão Logarítmica: O termo $\log(1 - 1/n^2)$ é expandido como $-\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j n^{2j}}$. Multiplicando pelo peso $n^m$, obtém-se $-\sum_{j=1}^\infty \frac{n^{m-2j}}{j}$.
2. Identificação da Divergência: Os termos $n^{m-2j}$ são não-somáveis quando $m - 2j \geq -1$. O índice de corte é definido como $J_m = \lfloor \frac{m+1}{2} \rfloor$.
3. Regularização: Um contra-termo exponencial mínimo é introduzido para cancelar precisamente os termos não-somáveis na expansão. O produto regularizado é definido como:
   $$P_m = \prod_{n=2}^\infty \exp\left( \sum_{j=1}^{J_m} \frac{n^{m-2j}}{j} \right) \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^m}$$
4. Formulação de Cauda Zeta: Após o cancelamento, o logaritmo do produto reduz-se a uma série dupla absolutamente convergente, que é rearranjada para expressar $\log P_m$ explicitamente em termos de caudas da função zeta de Riemann, $\zeta(s)$.
5. Separação de Ramos: A hierarquia é analisada separando os índices pares ($m=2a$) e ímpares ($m=2a+1$), levando a avaliações de forma fechada distintas envolvendo diferentes classes de funções especiais.

Principais Contribuições e Resultados

• Representação Explícita de Cauda Zeta: O principal resultado é a derivação de $\log P_m$ como uma soma envolvendo $\zeta(k) - 1$.

  • Para $m$ par ($m=2a$): $\log P_{2a} = -\sum_{r=1}^\infty \frac{\zeta(2r)-1}{r+a}$.
  • Para $m$ ímpar ($m=2a+1$): $\log P_{2a+1} = -\sum_{r=1}^\infty \frac{\zeta(2r+1)-1}{r+a+1}$.

• Avaliação de Forma Fechada do Ramo Par:
  O ramo par é avaliado em termos de constantes elementares, números harmônicos ($H_n$) e valores ímpares de zeta. O resultado é:
  $$P_{2a} = \pi \exp\left[ -H_{a-1/2a} + 2a \sum_{\ell=1}^{a-1} \frac{(-1)^{\ell+1}(2a-1)!}{(2a-2\ell)!} \frac{\zeta(2\ell+1)}{(2\pi)^{2\ell}} \right]$$
  (Nota: O artigo expressa o termo harmônico como $-H_a - 1/2a$ na fórmula final).

• Avaliação de Forma Fechada do Ramo Ímpar:
  O ramo ímpar reduz-se a momentos finitos do logaritmo gama. A avaliação envolve a constante de Euler-Mascheroni $\gamma$, logaritmos, valores ímpares de zeta e derivadas da função zeta em inteiros positivos pares ($\zeta'(2k)$). O resultado é expresso via momentos $M_k = \int_0^1 x^k [\psi(1+x) + \gamma] dx$.

• Companheiro Hiperbólico e Extensão de Dois Fatores:
  A metodologia é estendida para incluir o fator companheiro hiperbólico $(1 + 1/n^2)$. Uma família de dois parâmetros $P_m(A, B)$ é definida, onde $P_m = P_m(1, 0)$ e o caso puramente hiperbólico é $P_m(0, 1)$. O logaritmo do caso geral é mostrado como linear em $A$ e $B$: $\log P_m(A, B) = A \log P_m + B \log P_m^+$.

• Conexão com as Funções de Seno Múltiplo de Kurokawa:
  O artigo estabelece uma ligação direta entre os produtos de Wallis regularizados e as funções de seno múltiplo de Kurokawa, $S_r(z)$.

  • O ramo par ($m=2a$) é derivado da derivada da função seno múltiplo ímpar $S_{2a+1}(z)$ em $z=1$. Especificamente, $P_{2a}$ está relacionado a $S'_{2a+1}(1)$.
  • O ramo ímpar ($m=2a+1$) é identificado como o companheiro simétrico do caso de seno múltiplo par, surgindo do produto de fatores canônicos de um lado $\Phi_m(x)\Phi_m(-x)$.

Exemplos Específicos
O artigo fornece avaliações explícitas para os primeiros membros da hierarquia:

• $P_0 = 1/2$ (Produto telescópico clássico).
• $P_1 = e^\gamma / 2$.
• $P_2 = \pi / e^{3/2}$ (recuperando um resultado anteriormente identificado por Allouche via funções de seno triplo).
• $P_3$ e $P_4$ são dados em termos de $\gamma$, $\zeta(3)$ e $\zeta'(2)$.

Significância e Alegações
O artigo afirma colocar identidades isoladas de produtos do tipo Wallis em uma família unificada e indexada. Ao aplicar uma regra de subtração mínima fixa ao mesmo fator de Wallis para cada $m$, o autor constrói uma "Hierarquia de Wallis Regularizada" onde os logaritmos são caudas zeta explícitas.
A significância reside em:

1. Unificação: Conectar resultados anteriormente díspares (como o caso $m=2$ encontrado por Allouche) em um único arcabouço.
2. Insight Estrutural: Revelar que os ramos par e ímpar da hierarquia correspondem naturalmente às funções de seno múltiplo par e ímpar de Kurokawa, respectivamente.
3. Fórmulas Explícitas: Fornecer expressões de forma fechada para esses produtos que envolvem constantes matemáticas padrão e valores especiais da função zeta, estendendo o panorama conhecido de produtos infinitos regularizados.

O autor observa que a formulação é distinta de outras generalizações (por exemplo, de Cai, Hu, Kim ou Farrell) porque adere estritamente à regra de subtração mínima no fator de Wallis específico, produzindo uma hierarquia com logaritmos de cauda zeta explícitos. O artigo não propõe novas aplicações ou direções experimentais, mas foca na derivação analítica e classificação dessas identidades de produtos.