A Regularised Wallis Hierarchy

技术摘要：正则化华莱士层级 (A Regularised Wallis Hierarchy)

问题陈述
本文研究了由倒数华莱士因子 $1 - 1/n^2$ 导出的无穷乘积的收敛性质。虽然经典的华莱士乘积及其对应的递减项（telescoping）形式在常数指数下是收敛的，但将该倒数因子提升到多项式权重 $n^m$（其中 $m = 0, 1, 2, \dots$）会破坏常数阶的收敛性，当 $m \geq 1$ 时情况如此。此类因子的对数会产生发散级数项。核心问题在于定义一种一致的正则化方案，在移除这些发散项的同时，保持与原始华莱士因子的结构关系，从而构建出一系列收敛乘积的层级 $P_m$。

方法论
作者通过对对数展开项应用最小减法规则（minimal subtraction rule），引入了一系列正则化乘积 $P_m$ 的层级。

1. 对数展开： 将 $\log(1 - 1/n^2)$ 展开为 $-\sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j n^{2j}}$。乘以权重 $n^m$ 得到 $-\sum_{j=1}^\infty \frac{n^{m-2j}}{j}$。
2. 识别发散： 当 $m - 2j \geq -1$ 时，项 $n^{m-2j}$ 是不可求和的。截断指数定义为 $J_m = \lfloor \frac{m+1}{2} \rfloor$。
3. 正则化： 引入一个极小指数反项（minimal exponential counterterm）来精确抵消展开式中的不可求和项。正则化乘积定义为：
   $$P_m = \prod_{n=2}^\infty \exp\left( \sum_{j=1}^{J_m} \frac{n^{m-2j}}{j} \right) \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^m}$$
4. Zeta 尾部公式化： 在抵消之后，乘积的对数简化为一个绝对收敛的双重级数，通过重新排列，将其对数 $\log P_m$ 显式地表示为黎曼 Zeta 函数 $\zeta(s)$ 的尾部之和。
5. 分支分离： 通过分离偶数（$m=2a$）和奇数（$m=2a+1$）指数对层级进行分析，从而得出涉及不同类特殊函数的不同闭合形式求值。

主要贡献与结果

• 显式 Zeta 尾部表示： 主要结果是将 $\log P_m$ 表示为涉及 $\zeta(k)-1$ 的求和形式。

  • 对于偶数 $m=2a$：$\log P_{2a} = -\sum_{r=1}^\infty \frac{\zeta(2r)-1}{r+a}$。
  • 对于奇数 $m=2a+1$：$\log P_{2a+1} = -\sum_{r=1}^\infty \frac{\zeta(2r+1)-1}{r+a+1}$。

• 偶数分支的闭合形式求值： 偶数分支通过基本常数、调和数（$H_n$）和奇数 Zeta 值进行求值。结果为：
  $$P_{2a} = \pi \exp\left[ -H_{a-1/2a} + 2a \sum_{\ell=1}^{a-1} \frac{(-1)^{\ell+1}(2a-1)!}{(2a-2\ell)!} \frac{\zeta(2\ell+1)}{(2\pi)^{2\ell}} \right]$$
  （注：论文在最终公式中将调和项表示为 $-H_a - 1/2a$）。

• 奇数分支的闭合形式求值： 奇数分支简化为有限的对数伽马矩（logarithmic gamma moments）。其求值涉及欧拉-马斯切罗尼常数 $\gamma$、对数、奇数 Zeta 值以及 Zeta 函数在正偶数处的导数 $\zeta'(2k)$。结果通过矩 $M_k = \int_0^1 x^k [\psi(1+x) + \gamma] dx$ 来表示。

• 双曲伴随项与两参数扩展： 该方法被扩展到包含双曲伴随因子 $(1 + 1/n^2)$。定义了一个两参数族 $P_m(A, B)$，其中 $P_m = P_m(1, 0)$，纯双曲情形为 $P_m(0, 1)$。其对数被证明对 $A$ 和 $B$ 是线性的：$\log P_m(A, B) = A \log P_m + B \log P_m^+$。

• 与黑川（Kurokawa）多重正弦函数的联系： 论文建立了正则化华莱士乘积与黑川的多重正弦函数 $S_r(z)$ 之间的直接联系。

  • 偶数分支（$m=2a$）是通过奇数多重正弦函数 $S_{2a+1}(z)$ 在 $z=1$ 处的导数推导出的。具体而言，$P_{2a}$ 与 $S'_{2a+1}(1)$ 相关。
  • 奇数分支（$m=2a+1$）被识别为偶数多重正弦情形的对称伴随，源于单侧规范因子 $\Phi_m(x)\Phi_m(-x)$ 的乘积。

具体实例
论文提供了该层级中前几个成员的显式求值：

• $P_0 = 1/2$（经典递减乘积）。
• $P_1 = e^\gamma / 2$。
• $P_2 = \pi / e^{3/2}$（恢复了 Allouche 通过三重正弦函数确定的结果）。
• $P_3$ 和 $P_4$ 以 $\gamma, \zeta(3)$ 和 $\zeta'(2)$ 表示。

意义与主张
本文声称将孤立的华莱士型乘积恒等式置于一个统一的、有索引的族中。通过对每一个 $m$ 针对特定的倒数华莱士因子应用固定的最小减法规则，作者构建了一个“正则化华莱士层级”，其对数具有显式的 Zeta 尾部。
其意义在于：

1. 统一性： 将先前零散的结果（例如 Allouche 发现的 $m=2$ 情况）纳入一个单一的框架。
2. 结构洞察： 揭示了层级的偶数分支和奇数分支分别自然地对应于黑川的奇数和偶数多重正弦函数。
3. 显式公式： 提供这些乘积的闭合形式表达式，这些表达式涉及标准数学常数和 Zeta 函数的特殊值，扩展了已知正则化无穷乘积的领域。

作者指出，该公式化过程与其他泛化方法（如 Cai, Hu, Kim 或 Farrell 的方法）不同，因为它严格遵循针对特定倒数华莱士因子的最小减法规则，从而产生一个具有显式 Zeta 尾部对数的层级。本文并不旨在提出新的应用或实验方向，而是专注于这些乘积恒等式的解析推导与分类。