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$L$-functions of elliptic curves in ring class extensions of real quadratic fields via regularized theta liftings

यह शोध पत्र एक वास्तविक द्विघाती क्षेत्र के रिंग क्लास अभिलक्षणों (ring class characters) द्वारा ट्विस्टेड $\mathbb{Q}$ पर दीर्घवृत्तीय वक्रों (elliptic curves) के $L$-फंक्शन्स के केंद्रीय अवकल मानों (central derivative values) के लिए नए समाकल निरूपण (integral representations) व्युत्पन्न करता है, उन्हें मॉड्यूलर वक्रों के गुणनफल पर ऑटोमोर्फिक ग्रीन फलनों (automorphic Green's functions) के माध्यम से व्यक्त करता है और इन परिणामों को बिर्च-स्विनर्टन-डायर (Birch-Swinnerton-Dyer) स्थिरांकों और आवर्तों (periods) से जोड़ता है।

Arithmetic Hirzebruch-Zagier divisors and central derivative values of Rankin-Selberg $L$-functions

यह शोध पत्र ट्विस्टेड रैनकिन-सेलबर्ग $L$-फंक्शन्स के केंद्रीय व्युत्पन्न मानों और $X_0(N) \times X_0(N)$ पर हिरज़ब्रुच-ज़ागियर डिविज़र्स की अंकगणितीय ऊँचाइयों के बीच एक संबंध स्थापित करता है, जिससे शिमुरा वैराइटीज़ के उच्च ग्रॉस-ज़ागियर सूत्रों को परिष्कृत किया जाता है और काल्पनिक एवं वास्तविक दोनों द्विघात क्षेत्रों के लिए बिर्च-स्विनरटन-डीयर अनुमान के नए प्रमाण और संबंध प्रदान किए जाते हैं।

On Ramanujan's Continued Fractions of Orders Five, Ten, and Twenty and Associated Lambert Series Identities

यह शोध पत्र जाकोबी के थीटा फलन उत्पाद निरूपणों, मॉक थीटा फलनों और रामानुजन के $_1 \psi_1$ योग सूत्र का उपयोग करते हुए संबद्ध लैम्बर्ट श्रेणी पहचानों को व्युत्पन्न करके, क्रम बीस के रामानुजन के निरंतर भिन्नों को क्रम दस और पांच के निरंतर भिन्नों के साथ, साथ ही रोजर्स-रामानुजन निरंतर भिन्नों के साथ जोड़ने वाली नई पहचान स्थापित करता है।

Logarithmic Density of Rank $\geq 1$ and Rank $\geq 2$ Genus-2 Jacobians and Applications to Hyperelliptic Curve Cryptography

Computing class groups and gonalities of algebraic curves over finite fields

यह शोधपत्र व्यावहारिक एल्गोरिदम प्रस्तुत करता है जो पावर सीरीज़ विस्तार (power series expansions) से जुड़े एक प्रीकंप्यूटेशन चरण का उपयोग करके परिमित क्षेत्रों (finite fields) पर बीजगणिक वक्रों (algebraic curves) के डिवीज़र क्लास समूहों (divisor class groups) और गोनालिटीज़ (gonalities) की गणना में उल्लेखनीय तेज़ी लाता है, ताकि बड़ी संख्या में रीमैन-रॉक स्थानों (Riemann-Roch spaces) की गणना को कुशलतापूर्वक अमोर्टाइज़ (amortize) किया जा सके।

Explicit bounds for Dickman's function

यह शोध पत्र डिकमैन फलन $\rho(u)$ के लिए संख्यात्मक रूप से स्पष्ट ऊपरी और निचली सीमाएं स्थापित करता है जो सभी $u \ge 5$ के लिए $0.005/u^2$ से कम का सापेक्ष त्रुटि प्राप्त करती हैं, जिससे अंतर्निहित विलंब अवकल समीकरण (delay differential equation) को हल किए बिना सटीक अनुमानित मूल्यांकन सक्षम होता है।

Minkowski shapes of pure number fields

यह शोध पत्र शुद्ध संख्या क्षेत्रों (pure number fields) के मिंकोव्स्की आकारों (Minkowski shapes) के लिए एक विविक्त-आर्किमिडीय गुणनखंड (discrete–archimedean factorization) स्थापित करता है, जो एक द्वैतता को प्रकट करता है जहाँ आकार विषम डिग्री के लिए एक पूर्ण अपरिवर्तनीय (complete invariant) के रूप में कार्य करता है लेकिन केवल सम डिग्री के लिए मूल क्षेत्र (core field) को निर्धारित करता है, साथ ही स्पष्ट विविक्तता सूत्र (discriminant formulas) प्रदान करता है और आकार स्थान (shape space) के भीतर इन आकारों के ज्यामितीय लोकस (geometric locus) को अभिलक्षित करता है।

On the sequence $\mathrm{gcd}(a^n-1,b^n-1)$

यह शोध पत्र यह सिद्ध करके कि अनुक्रम $g_n = \gcd(a^n-1, b^n-1)$ एक रैखिक पुनरावृत्ति (linear recurrence) को तभी संतुष्ट करता है जब $a$ और $b$ गुणात्मक रूप से आश्रित (multiplicatively dependent) हों, स्वतंत्र आधारों के लिए सामान्य विभाज्यता अनुक्रमों की आवधिकता स्थापित करता है, इसकी स्थानीय संरचना के लिए सटीक सूत्र व्युत्पन्न करता है, और पूर्णांक ऐलोन-रुडनिक (Ailon–Rudnick) अनुमान की ओर संरचनात्मक न्यूनीकरण प्रदान करता है, इस अनुक्रम $g_n$ की जांच करता है।

A criterion for weighted uniform distribution along functions from a Hardy field

यह शोध पत्र समनीयता सिद्धांत (summability theory) का उपयोग करते हुए हार्डी फील्ड फलनों के modulo 1 पर एकसमान वितरण (uniform distribution) पर बोशर्निट्ज़ान के प्रमेय का एक नया प्रमाण प्रदान करता है, इस परिणाम को भारित औसत (weighted averages) तक विस्तारित करता है, और इन निष्कर्षों को $x^{3/2}$ जैसे फलनों के लिए लघु अंतरालों (short intervals) के भीतर विशिष्ट भिन्नात्मक भागों (fractional parts) की उपस्थिति स्थापित करने के लिए लागू करता है।

Waring's problem involving D.H. Lehmer numbers

यह शोधपत्र सिद्ध करता है कि प्रत्येक पर्याप्त रूप से बड़े पूर्णांक को, जो 16 के गुणांक में 15 या 16 के तुल्य नहीं हैं, उन्हें छोड़कर, D.H. लेमर संख्याओं की 14 चतुर्थ घातों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जबकि सभी पर्याप्त रूप से बड़े पूर्णांकों को 16 ऐसी चतुर्थ घातों के योग के रूप में निरूपित किया जा सकता है।